【高数】高数平面立体几何

一.基本立体图形

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“X"
A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 ()
B.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 ()

题解:A错误,前半句对,后半句错误

底面如果是长方形，那么直四棱柱才是长方体
底面如果不是长方形，那么直四棱柱不是长方体 梯形也是四边形

B对

2.一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，
则这个几何体是

题解:五棱柱

3.一个多面体最少有个面，此时这个多面体是

题解:4个面 三棱锥 四面体

6个不是最少的

4.圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到。圆台是否也可以由平面图形旋转得到?如果可以，由什么平面图形旋转得到?如何旋转?

题解:梯形

5.棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点?当底面发生变化时，它们能否互相转化?圆柱、圆锥与圆台呢?

题解:相互转化

棱台的上底面面积为0时转化为棱锥

新笔是个棱柱,削尖成了棱锥,断了成了棱台

6.下列为棱柱的是?

题解: 1,3,5

2棱柱的定义是2个面平行,其余面是四边形 图中没有2个面是平行的

7.如图,轮胎由哪个旋转得到?

题解B,其他图形呢

A是一部分空心的球

8.下列图形是不是台体?为什么?

题解:1是2,3不是,切面平行底面切割,要平行

9.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“x”。
(1)一个棱柱至少有5个面 ()

(2)平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 ()
(3)有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 ()
(4)正棱锥侧面是全等的等腰三角形。()

题解:

1. 对
2. 对
3. 对
4. 对 从顶点往下看

10.左边是由右边哪个图形展开得到?

题解:D

11.如图，长方体ABCD-ABCD被一个平面截成两个几何体，其中EH//BC/FG,请说出这两个几何体的名称?

题解:三棱柱和五棱柱

12.下列命题是否正确?若正确，请说明理由;若错误，请举出反例。

(1)有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱;

(2)有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台。

题解:

• 1.不一定,2个斜棱柱组合在一起
  • 棱柱的定义
  • 2个面平行
  • 其余面是四边形
  • 四边形的公共边都互相平行
• 2.不一定 不一定相交于一点,2个棱台叠在一起
  • 棱台的定义
  • 棱锥切去上半部分

13.关于几何体有以下命题:

①有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱;

②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥;

③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分;

④两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台;

⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥.

题解:

1.错误

2.对

3.对

4.不一定

5.错,非直角边旋转 斜边

14.如图所示，三棱锥 P-ABC,PA垂直底面ABC,角ABC=90°则此三棱锥 P-ABC中直角三角形有几个

题解:4个

填空题 就是个大坑

二.立体图形的直观图

1.在用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，与轴不平行的线段的大小（　D　）

​ A.变大

​ B. 变小

​ C.一定改变

​ D. 可能不变

题解:对于一定的条件,一般都是错的,可以联想到可能变大,也可能变小,还可能不变

2.利用斜二侧画法画水平放置的平面图形的直观图，得到下列结论，其中正确的是（　B　）

A．正三角形的直观图仍然是正三角形．

B．平行四边形的直观图一定是平行四边形．

C．正方形的直观图是正方形．

D．圆的直观图是圆

E. 菱形的直观图一定是菱形

题解🅰️等腰三角形,三角形的直观图是三角形 🅱️对的 C:平行四边形 D:椭圆

E.平行于y轴的线段长减半

3.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论它是否正确?正确的在括号内画“√”，错误的画“x”.
(1)相等的线段在直观图中仍然相等.(x)

(2)平行的线段在直观图中仍然平行(对)

(3)一个角的直观图仍是一个角.(错)

(4)相等的角在直观图中仍然相等.(错)

题解:A 错 平行与y轴的线会减半 B 对 C可能是直线,是不是平行底面 D 等腰直角三角形直视图不是等腰直角三角形

4.画出长方体,圆柱,圆锥,球,组合体的直观图

1. 画底面
2. 画高
3. 连线

长方体

圆柱

圆锥

球

组合体的直观图

5.画图直观图

球的直观图和圆锥的直观图

三.简单几何体的表面积和体积

1.正六棱台的上。下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积?

题解:先求高 6-2=4/2=2 25-4=21 高$\sqrt{2}1$

公式 $1/3\ast \sqrt{2}1(上面积+下面积+开方(上面积\ast 下面积))$

2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当分割成棱长为1cm的小立方体

4x4x4

(1)共得到多少个棱长是1cm的小立方体?

求体积 64

(2)三面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?

8个角 3x8x1个的面积(3)

(3)两面是红色的小立方体有多少?它们的表面之和是多少?

12个棱x2个

(4)1面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?

6个面x4个

(5)六个面均没有色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?它们占有多少立方厘米的
空间?

8个

3.某广场设置了一些石登供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截
正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积多少?

题解:相减法 怎么减 4面体 三棱锥的体积

4.求证:真三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积

证明:

ab+bc>ac

abxh+bcxh>acxh

5.已知圆锥的表面积为am²，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径?

题解:母线和半径相等 πr²+πrh

6.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等?

题解:4πr² =(4/3)πR³ 4=4/3r 半径等于3

7.将个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积

题解:球体的的体积 (4/3)πR³ 直径为6 半径为3

8.一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200 000立方厘米的水，现放人一个直径为
50cm的木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出?

题解: 64000剩余 (4/3)πR³ 25cm的半径 乘以2/3

9.将一个长方体沿相邻三面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下集合体体积之比?

题解:首先沿一个面的对角线把长方体分成两份，

然后在按照题目所描述的方法再截出棱锥，则答案就可以出来了 1:6

解数学题不能一直耗着,要有的放矢

10.正方体的顶点都在球面上,正方体的长为acm,求球的体积?

题解:画图,求解 正方体的对角线的长

四.位置关系

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内西“√”，错误的画“X”。

(1)书桌面是平面 ()

对

(2)平面a与平面相交，它们只有有限个公共点 ()

错 直线有无限个点

(3)如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合 ()

对

2.下列命题正确的是( ).
(A)三点确定一个平面

错 不共线

(B)一条线和一个点确定一个平面

错,不共线

©圆心和圆上2点可确定一个平面

错,不共线

(D)梯形可确定一个平面

对

3.不共面的四点可以确定几个平面?请画出图形说明你的结论

题解:画图说明 四个

三个不同的点可以确定一个平面,假如以1、2、3、4表示四个不共面的点,则只有123、124、134、234四种不同组合

4.如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b().
(A)共面

(B)平行
©是异面直线

(D)可能行，也可能是异面真线

5.设直线a，b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b().
(A)平行

(B) 相交
©异面直线

(D)可能相交，也可能是异面直线

解:因为直线a,b分别是长方体相邻两个面上的对角线所在直线, 所以a,b可能是相交线,a,b对角线开始于同一个顶点时相交; a,b也可以是异面,两个对角线a,b不是开始于同一个顶点时异面; a,b没有平行的可能. 故答案为:相交或异面.a,b对角线开始于同一个顶点时相交;a,b不是开始于同一个顶点时异面;a,b没有平行的可能.”

6.判断下列合题是否正确，正确的在括号内画“√"，错误的画“X"
(1)若直线L上有无数个点不在平面a内，则L//a. ()

错 相交也成立

(2)若直线L与平面a平行，则L与平面a内的任意一条直线都平行。 ()

错误

(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行。 ()

错误

(4)若直线L与平面a平行，则L与平面a内的任童一条直线都没有公共点。 ()

正确