【左神算法笔记】Class1：异或交换，时间复杂度计算

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1.异或交换

不用额外空间就可以交换两个数字（只要这两个数字不占用相同内存）

void Swap(int& a, int& b)
{
	a = a ^ b;
	b = a ^ b;
	a = a ^ b;
}
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原理：

1. 异或满足交换律和结合率
2. N^0=N, N^N=0

因此，这三行代码可以这样解释：
假设int a=甲，int b=乙。
a=a^b 即a=甲^乙
b=a^b 即b=甲^乙乙，此时根据结合律，两个乙抵消，b=甲
a=a^b 即a=甲^乙甲，此时根据交换律，两个甲抵消，a=乙，交换完成。

拓展：
（1）一组数里，只有一个数字出现了奇数次，剩下的数都出现了偶数次，找出这个奇数。要求时间复杂度为O(n)

思路：设一个变量，例如int eor，将eor连续与每一个数字相异或，也就是eor=eor^a这样。
全部与完后，因为交换律，可以写为eor=a^ab^b&=c^c……所有的偶数次出现的数字都会因为交换率而抵消，为0，最后留下的那个就一定是那个出现奇数次的数。

（2）那么如果有两个数字出现了奇数次呢？如何找出这两个数？要求时间复杂度为O(n)

思路：首先还是设置变量eor，和之前一样连续数字相与，假设目标数字叫a和b，那么eor最后一定是：eor=a^b。
下一步，找到eor二进制数字中为1的位，以这个位为基准, 再创建一个变量eor’，令eor’=eor’^{(所有这组数中这个位为1或0的数字)，还是相同的数字相互抵消，最后eor’一定等于a或者b。最后，令eor}eor’，就可以求出另一个数了。

因为a^b的后的结果中的那一位为1，这就说明这个位可以将这组数字分为两组，一组里包含a，一组里包含b，那么用eor’与这两组中任意一组相与，一定能得到a或b中的一个。

代码：

这里rightone=eor&(~eor+1)就是其原码与补码相与，这样可以得出最右边第一位为1的数，类似于000001000这样的数。

2.Master公式

对于递归的题目，如果拆成的子问题规模都一样，就可以调用master公式来计算这个算法的时间复杂度。Master公式为：

例如归并排序
https://blog.csdn.net/Currybeefer/article/details/107330525
这里子问题的规模是T(n/2)，每次子问题调用2次，最后Merge()方法的复杂度是O(n)，所以其时间复杂度套用master公式，计算式子为：
T(N)=2*T(n/2)+O(n)
符合(2)情况，计算的时间复杂度为O(nlogn)