跟着李老师学线代——矩阵（持续更新）

文章目录

基础概念
矩阵的运算
矩阵和行列式
伴随矩阵
可逆矩阵
分块矩阵
矩阵的初等变换
矩阵的秩

基础概念

矩阵：由 $m\times n$ 个数组成的 $m$ 行 $n$ 列的表格称为一个 $m\times n$ 个矩阵，当 $m = n$ 时，称为 $n$ 阶矩阵，记为 $A$ 。
同型矩阵：如果 $A$ 和 $B$ 都是 $m\times n$ 阶矩阵，那么称 $A$ 和 $B$ 是同型矩阵。
相等矩阵：设 $A, B$ 是同型矩阵，如果 $a_{ij}=b_{ij}(\forall i=1,2,\dots,m;j=1,2,\dots,n)$ ，则称 $A$ 和 $B$ 相等，记为 $A = B$ 。
零矩阵：如果一个矩阵的所有元素都是 $0$ ，那么就称这个矩阵为零矩阵，记为 $O$ 。
对角矩阵： $[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{22} \\ ⋱ \\ a_{n n} \end{matrix}]$
单位矩阵： $[\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋱ \\ 1 \end{matrix}]$ 记为 $E$ 。
上三角矩阵： $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋱ & ⋮ \\ a_{n n} \end{matrix}]$ 当 $i > j$ 时， $a_{ij}=0$
下三角矩阵： $[\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} & a_{22} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]$ 当 $i < j i时， a i j = 0 a_{ij}=0$
对称矩阵：若 $A^T=A$ ，则称 $A$ 为对称矩阵。
反对称矩阵：若 $A^T=-A$ ，则称 $A$ 为反对称矩阵。

矩阵的运算

矩阵的加法： $A=[a_{ij}],B=[b_{ij}]$ 均为 $m\times n$ 阶矩阵，那么 $A+B=[a_{ij}+b_{ij}]$ 。
加法运算法则：若 $A, B, C$ 同型，则 $A+B=B+A\\(A+B)+C=A+(B+C)\\A+O=A\\A+(-A)=O$
数与矩阵相乘： $kA=[ka_{ij}]$ 。
数乘运算法则： $k(mA)=m(kA)=(mk)A\\(k+m)A=kA+mA\\k(A+B)=kA+kB\\1A=A\\0A=O$
矩阵的乘法：若 $A=[a_{ij}]_{m\times s},B=[b_{ij}]_{s\times n}$ ，则 $A\times B=C=[c_{ij}]_{m\times n}$ 其中 $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots+a_{is}b_{sj}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}$
乘法运算法则： $A(BC)=(AB)C\\A(B+C)=AB+AC\\(kA)(lB)=klAB\\AE=A,EA=A\\OA=O,AO=O$ 注意： $[\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]$
转置：设 $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ ，将 $A$ 的行列互换，得到的 $n\times m$ 的矩阵 $[a_{ji}]_{n\times m}$ 称为 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^T$ 。
转置运算法则： $A+B)^T=A^T+B^T\\(kA)^T=kA^T\\(AB)^T=B^TA^T\\(A^T)^T=A$

矩阵和行列式

方阵的行列式：设 $A=[a_{ij}]$ 为 $n$ 阶矩阵，其所有元素保持位置不动所构成的行列式称为矩阵 $A$ 的行列式，记为 $∣ A ∣$ 注意：仅有方阵才有行列式； $A = O$ 和 $∣ A ∣ = 0$ 没有关系。
方阵行列式的公式： $A^T|=|A|\\|kA|=k^n|A|\\|AB|=|A||B|\\|A^2|=|A|^2$

伴随矩阵

伴随矩阵：设 $A=[a_{ij}]$ 是 $n$ 阶矩阵，行列式 $∣ A ∣$ 的每个元素 $a_{ij}$ 的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的如下矩阵 $[\begin{matrix} A_{11} & A_{21} & \dots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \dots & A_{n 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \dots & A_{n n} \end{matrix}]$ 称为矩阵 $A$ 的伴随矩阵。
$AA^*=A^*A=|A|E$
二阶矩阵的伴随矩阵：主对角线互换，副对角线变号。

可逆矩阵

可逆矩阵：对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果 $\exists n$ 阶矩阵 $B$ ，使 $A B = B A = E$ 则称矩阵 $A$ 是可逆的，矩阵 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵。
如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 的逆矩阵是唯一的，记作 $A^{-1}$ 。
如果 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也是可逆的，且 $A^{-1})^{-1}=A$ 。
如果 $A$ 可逆，且 $k\neq0$ ，则 $k A$ 可逆，且 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$ 。
如果 $A, B$ 可逆，则 $A B$ 也可逆，且 $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ 。
如果 $A$ 可逆，则 $A^T$ 也可逆，且 $A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$ 。
$A$ 可逆 $\Leftrightarrow|A|\neq0$ 。
$A, B$ 是 $n$ 阶矩阵，如果 $A B = E$ ，则 $A^{-1}=B$ 。
如果 $A$ 可逆，则 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$ 。
如果 $A$ 可逆，则 $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ 。
如果 $[\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}]$ 是对角矩阵，则 $[\begin{matrix} \frac{1}{a_{1}} \\ \frac{1}{a_{2}} \\ \frac{1}{a_{3}} \end{matrix}]$ 。

分块矩阵

对矩阵适当的进行分块处理，可以有效地进行计算，分块后有如下运算法则：

$[\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}]$

设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶矩阵，则：

$[\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}]$

设 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶可逆矩阵，则：

$[\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} O & A \\ B & O \end{matrix}]$

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵， $B$ 是 $n\times s$ 矩阵且 $A B = C$ ，则对 $B, C$ 进行分块有：

[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}]

[\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}]

[\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ ⋮ \\ c_{n} \end{matrix}]

⎣ ⎡ a_{11} a_{21} ⋮ a_{m 1} a_{12} a_{22} ⋮ a_{m 2} \dots \dots \dots a_{1 n} a_{2 n} ⋮ a_{mn} ⎦ ⎤ ⎣ ⎡ b_{1} b_{2} ⋮ b_{n} ⎦ ⎤ = ⎣ ⎡ c_{1} c_{2} ⋮ c_{n} ⎦ ⎤

即

{\begin{cases} a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} + \dots + a_{1 n} b_{n} = c_{1} \\ a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} + \dots + a_{2 n} b_{n} = c_{2} \\ \dots \\ a_{n 1} b_{1} + a_{n 2} b_{2} + \dots + a_{n n} b_{n} = c_{n} \end{cases}

矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是初等行变换和初等列变换的总和：

用非零的常数乘矩阵的某一行（列）。
将一行（列）的 $k$ 倍加至另一行（列）。
交换矩阵中两行（列）的位置。

初等行变换与线性方程组

现求解以下线性方程组：

{\begin{cases} 2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 1 \\ 4 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} = 4 \\ 2 x_{1} + 2 x_{3} = 6 \end{cases}

⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 1 4 x_{1} + 2 x_{2} + 5 x_{3} = 4 2 x_{1} + 2 x_{3} = 6

根据加减消元法：

方程两边同时乘以一个非零的数。
将一个方程的 $k$ 倍加到另一个方程。
交换两个方程的位置。

将方程组化简至：

{\begin{cases} 2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 1 \\ x_{2} - x_{3} = 5 \\ x_{3} = - 6 \end{cases}

⎩ ⎨ ⎧ 2 x_{1} - x_{2} + 3 x_{3} = 1 x_{2} - x_{3} = 5 x_{3} = - 6

即可将方程的解求出，加减消元本质是对未知数系数和常数项的改变，因此可以把未知数系数和常数项写成一个矩阵：

[\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 4 & 2 & 5 & 4 \\ 2 & 0 & 2 & 6 \end{matrix}]

这个矩阵就称为线性方程组的增广矩阵。线对该矩阵进行初等行变换将矩阵化简（正向消元）至：

[\begin{matrix} 2 & - 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & - 6 \end{matrix}]

接着进行反向求解，即可得出线性方程的解。

初等矩阵

由单位矩阵经过一次初等行变换得到的矩阵称为初等矩阵。

初等矩阵 $P$ 左乘 $A$ 所得到的 $P A$ 就是对 $A$ 做一次与 $P$ 同样的初等行变换。
初等矩阵 $P$ 右乘 $A$ 所得到的 $A P$ 就是对 $A$ 做一次与 $P$ 同样的初等列变换。
$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & k & 1 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]$
$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & k & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

等价矩阵

如果矩阵 $A$ 经过有限次初等变化变换成矩阵 $B$ ，就称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价，记作 $A\cong B$ 。矩阵等价满足：

反身性： $A\cong A$
对称性：若 $A\cong B$ ，则 $B\cong A$
传递性：若 $A\cong B,B\cong C$ ，则 $A\cong C$

行阶梯矩阵

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，如果满足：

矩阵如有零行，则零行都在矩阵的底部。
每个非零行的矩阵的主元（即某一行中最左边的第一个非零元）所在的列的下面元素都是 $0$ 。

则称 $A$ 为行阶梯矩阵。

行最简矩阵

设 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，如果满足：

$A$ 是行阶梯矩阵
非零元的主元都是 $1$ ，且主元所在列的其它元素都是 $0$ 。

则称 $A$ 为行最简矩阵。

初等变换在矩阵求解中的应用

通过初等行变换求解矩阵的逆矩阵： $A$ 矩阵可逆的充分必要条件是 $A$ 可以表示为若干个初等矩阵的乘积。即 $P_n\dots P_2P_1=A$ 那么 $(Pn\dots P_2P_1)^{-1}A=E$ 因为 $(Pn\dots P_2P_1)^{-1}=P_n^{-1}\dots P_2^{-1}P_1^{-1}=Q_n\dots Q_2Q_1$ （ $Q$ 仍为初等矩阵），所以原式可写为： $Q_n\dots Q_2Q_1A=E$ 那么 $Q_n\dots Q_2Q_1E=A^{-1}$ 因此 $(A|E)\rightarrow\dots\rightarrow(E|A^{-1})$
通过初等行变换求解矩阵方程：若 $A x = B$ ，如果 $A$ 可逆，那么 $x=A^{-1}B$ 又 $P A = E$ 那么 $PB=A^{-1}B=x$ 所以 $P (A ∣ B) = (E ∣ x)$

矩阵的秩

$k$ 阶子式：在 $m\times n$ 阶的矩阵 $A$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列（ $k \leq n, k \leq m$ ），位于这些行与列的交叉点上的 $k^2$ 个元素按其在原来矩阵 $A$ 的次序可构成一个 $k$ 阶行列式，称其为矩阵 $A$ 的一个 $k$ 阶子式。
矩阵的秩：若矩阵 $A$ 中存在 $r$ 阶子式不为 $0$ ， $r + 1$ 阶子式（如果存在）全为零，则称矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，记为 $r (A) = r$ ，零矩阵的秩规定为 $0$ 。
若 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，那么 $r(A)=n\Leftrightarrow|A|\neq0\Leftrightarrow A可逆\\r(A)r(A)=n⇔∣A∣=0⇔A可逆r(A)<n⇔∣A∣=0⇔A不可逆$
经过初等变换矩阵的秩不变。
如果矩阵 $P, Q$ 可逆，有 $P A Q = B$ ，那么 $r (P A Q) = r (B)$ 。
$0≤r(A_{m\times n})≤min(m,n)$
$r(A^T)=r(A)$
$r (A + B) \leq r (A) + r (B)$
$r(kA)=r(A)(k\neq0)$
$r (A B) \leq min (r (A), r (B))$ 。证明：设 $r (A) = r$ ，则存在任意可逆矩阵 $P, Q$ 使得
$[\begin{matrix} E_{r} & O \\ O & O \end{matrix}]$ _{m\times n} $P A Q = [E_{r} O O O]_{m \times n}$ 则 $[\begin{matrix} E_{r} & O \\ O & O \end{matrix}]$ 即 $[\begin{matrix} B_{r \times s} \\ O \end{matrix}]$ 由此可得 $r(AB)=r((AB)^T)=r(B^TA^T)≤r(B^T)=r(B)$ 故 $r (A B) \leq min (r (A), r (B))$
$[\begin{matrix} A & O \\ O & B \end{matrix}]$ )=r(A)+r(B) $r ([A O O B]) = r (A) + r (B)$
$ma x (r (A), r (B)) \leq r (A ∣ B) \leq r (A) + r (B)$ 。证明：设 $r (A) = r, r (B) = t$ ， $PA^T=A_1(行阶梯，r个非零行)\\QB^T=B_1(行阶梯，t个非零行)$ 那么
$[\begin{matrix} P & O \\ O & Q \end{matrix}]$ $[\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix}]$ = $[\begin{matrix} A_{1} \\ B_{1} \end{matrix}]$ $[P O O Q] [A^{T} B^{T}] = [A_{1} B_{1}]$ 则 $[\begin{matrix} A^{T} \\ B^{T} \end{matrix}]$
$n$ 元线性方程组 $A x = B$ 解的判定：其增广矩阵为 $C$ 那么其解的情况如下：

情况	说明
无解	$r (A) + 1 = r (C)$
唯一解	$r (A) = r (C) = n$
无穷解

$n$ 元齐次方程组 $A x = 0$ 有非零解 $\Leftrightarrow r(A)⇔r(A)<n$
矩阵方程 $A x = B$ 有解 $\Leftrightarrow r(A)=r(A,B)$

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