嵌入Circle映射和逐维小孔成像反向学习的鲸鱼优化算法

摘要：针对鲸鱼优化算法(WOA)容易陷入局部最优解、收敛速度慢等缺陷，提出一种改进鲸鱼优化算法.首先，利用Circle混沌序列取代原始算法中随机产生的初始种群，提高初始个体的多样性；其次，提出了一种逐维小孔成像反向学习策略，增加寻优位置的多样性，提高了算法摆脱局部最优的能力；最后，提出了融合贝塔分布和逆不完全Γ函数的自适应权重，在保留鲸鱼优化算法优点的前提下，协调了算法的搜索能力.

1.鲸鱼优化算法

基础鲸鱼算法的具体原理参考，我的博客：https://blog.csdn.net/u011835903/article/details/107559167

2. 改进鲸鱼优化算法

2.1 混沌序列初始化

群体初始化对当前大多数智能优化算法的效率有很大影响，均匀分布的种群可以适度地扩大算法的搜索范围，从而提高算法的收敛速度和求解精度，在WOA种群初始化时，由于没有任何先验条件可以使用，大部分算法都是在搜索空间内随机生成初始种群，这种随机生成的群体位置容易导致鲸鱼位置分布不均匀，搜索范围不广，匡芳君[14] 等人提出利用Tent混沌来初始化种群，使个体尽可能均匀分布在搜索空间中，从而提高了蜂群算法的性能.混沌具有不可预测、非周期等特点，可以利用这种特点来提高算法的性能，其主要思想是利用混沌的特性，将变量映射到混沌变量空间的取值区间内，最后将解线性地转化到优化变量空间.目前优化领域中存在多种不同的混沌映射[15]，主要有Tent映射、Circle映射和Gauss映射等.本文采用Circle混沌映射来生成初始群体，Circle映射定义如下：
$$x_{i+1}=\mathrm{mod}\left(x_i+0.2-\left(\frac{0.5}{2\pi }\right)\sin \left(2\pi x_i\right),1\right)\text{\hspace{1em}(8)}$$
利用Circle映射来产生初始种群, 相比于随机 分布的种群, 改进后的种群初始位置分布更加均 匀, 扩大了鲸鱼群在空间中的搜索范围, 增加了群 体位置的多样性, 一定程度上改善了算法容易陷入 局部极值的缺陷, 从而提高了算法的寻优效率.

2.2 逐维小孔成像反向学习

假设某一空间中, 有一个高度为 $h$ 的火 焰 $p$ 在 $X$ 轴上的投影为 $X_{best}^j$ (第 $j$ 维最优解), 坐标轴 的上下限为 $a_j,b_j$ (第 $j$ 维解的上下限), 在基点 $o$ 上放置 一个有小孔的小孔屏, 火焰通过小孔可以在接收屏 上得到一个高度为 $h^{\prime }$ 的倒像 $p^{\prime }$, 此时在 $X$ 轴上得到 通过小孔成像产生的一个反向点 $X_{\text{best }}^{\prime j}$ (第 $j$ 维解得反 向解). 所以由小孔成像原理可以得出:
$$\frac{\left(a_j+b_j\right)/2-X_{\text{best }}^j}{X_{\text{best }}^{\prime j}-\left(a_j+b_j\right)/2}=\frac{h}{h^{\prime }}\text{\hspace{1em}(9)}$$
令 $h/h^{\prime }=n$, 通过变换得到 $X_{best}^{\prime j}$, 表达式如下:
$$X_{\text{best }}^{{\prime }^j}=\frac{\left(a_j+b_j\right)}{2}+\frac{\left(a_j+b_j\right)}{2n}-\frac{X_{\text{best }}^j}{n}\text{\hspace{1em}(10)}$$
当 $n=1$ 时, 可得:
$$X_{best}^{\prime }j=\left(a_j+b_j\right)-X_{best}^j\text{\hspace{1em}(11)}$$
由11式可以看出, 当 $n=1$ 时, 此时每维的逐 维小孔成像反向学习就是一般反向学习策略, 通过 改变接收屏与小孔屏的距离来调整调节因子 $n$, 从 而可以得到位置更好的个体.通过对算法保留下来的 最优解进行逐维小孔成像反向学习, 将各维度的值 映射到空间中得到反向解, 避免了各维度之间的干 扰, 同时也扩大了算法的搜索范围, 从而改善算法 的性能. 改进后的算法每迭代一次, 都通过(10)式进 行位置䇠选, 某一维度的值经过反向学习之后与其 他维度的值组成新的解, 通过比较各个适应度值来 进行篮选, 进而确定最优解, 利用这种方式不断求 得更好的解, 用这种精英保留的方式来进行下一维 的反向学习更新, 直到各维度更新结束.与一般反向 学习相比, 本文选择的是当前种群中保留的最优个 体进行逐维反向学习, 一定程度上降低了算法陷入 局部最优的可能性, 同时本文所提策略中 $a_j$ 和 $b_j$ 是 动态变化的, 相比于固定边界的反向学习策略具有 更加准确的搜索范围, 从而提高了算法的优化效率.

2.3 融合贝塔分布和逆不完全Γ函数的权重

在WOA中, 惯性权重对算法性能具有很明显的 影响, 当惯性权重大于 1 时, 随着迭代的进行算法会 很快发散; 若惯性权重小于 0 , 则将导致算法很快 停滞.通常情况下, 在算法初期主要注重全局探索, 以确保算法快速到达最优解附近, 此时权重应该较 大; 而在算法后期, 主要侧重局部开发, 此时需要 适当减小相邻两代之间的关联, 在最优解附近进行 精确搜索, 因此权重应该较小.WOA在进行全局搜 索和局部开发时, 权重是固定不变的, 导致鲸鱼群 只能停留在最优解附近, 不能精确的找到最优解, 同时在WOA中没有考虑算法迭代过程中 $X_{rand}$ 随机 性的影响, 因此本文提出一种融合贝塔分布 $[18]$ 和 逆不完全 $\Gamma$ 函数 ${}^{[19]}$ 的惯性因子调整方法:
ω = ω min ⁡ + ω max ⁡ − ω min ⁡ λ ×  gammaincinc  ( λ , 1 − t T ) + σ B ( b 1 , b 2 )  其中,  ω max ⁡ = 0.9 , ω min ⁡ = 0.4 ,  gammaincinv  ( λ , a )

ω​=ωmin​+λωmax​−ωmin​​× gammaincinc (λ,1−Tt​)+σB(b1​,b2​) 其中, ωmax​=0.9,ωmin​=0.4, gammaincinv (λ,a)​
为逆不完全 $\Gamma$ 函数 $\gamma (\lambda ,a)={\int }_0^{\lambda }{\mathrm{e}}^{-t}{t}^{a-1}\mathrm{d}t$ 的Matlab调 用函数, $\lambda (\lambda \ge 0)$ 为随机变量, 本文取 $\lambda =0.1$; $B\left(b_1,b_2\right)$ 表示服从贝塔分布的随机数, 其中 $b_1=1$,$b_2=2,\sigma$ 为惯性权重调整因子, 本文取 $\sigma =0.1$ 用 来控制惯性权重 $\omega$ 的偏移程度, 使其能够更好地平 衡算法的全局搜索和局部开发能力. 其中 $t$ 为当前迭 代次数, $T$ 为算法最大迭代次数, 此时 $a=1-t/T$.
本文权值的前两项用来控制 $\omega$ 从 $0.9$ 非线性递减 到 $0.4$, 进而协调全局搜索和局部开发阶段, 第三项 利用贝塔分布调整 $\omega$ 整体取值的分布, 使权值的选 取更加合理. 由(12)式可知, 本文改进权重在总体上 随着迭代次数的增加而非线性递减, 满足整个搜索 过程权重的变化, 同时, 在式中加入了服从贝塔分 布的随机数, 一方面在迭代前期权值变化太快时也 可能产生较大的权值, 此时一定程度上增强了算法 的全局搜索能力; 另一方面到迭代后期, 权重系数 随着迭代次数增加而减小, 而且变化比较平稳, 此 时加入服从贝塔分布的随机数使算法有机会获得较 大的权值, 实现了权重的动态变化, 从而提高算法 的收玫速度.结合WOA位置更新公式, MWOA公式 定义如下:
$$X(t+1)=\omega \cdot X^{\ast }(t)-A\cdot D|A|<1,p<0.\text{\hspace{1em}(13)}$$

X ( t + 1 ) = ω ⋅ X rand  − A ⋅ D rand  ∣ A ∣ ≥ 1 , p < 0.5 (14)

\tag{14} ​X(t+1)=ω⋅Xrand ​−A⋅Drand ​∣A∣≥1,p<0.5​(14)
$$X(t+1)=D^{\prime }\cdot e^{bl}\cdot \cos (2\pi l)+\omega X^{\ast }(t)p\ge 0.5\text{\hspace{1em}(15)}$$

鲸鱼算法的模型简单, 相比于传统算法, 鲸鱼 优化算法寻优能力更强, 但是在整个进化过程中主 要通过搜索包围、螺旋更新位置、随机选择鲸鱼位 置来实现寻优, 但是算法在迭代时不断更新领导者 的位置, 这样的领导者更新方式导致算法进行到某 一代陷入局部最优则会使算法陷入停滞, 虽然一些 改进算法利用混沌理论和反向学习增加了算法跳出 局部最优的概率、加入惯性权重来平衡算法的全局 搜索和局部开发能力, 但本质上来说都是对单一的 进化策略进行改进, 因此本文通过结合混沌映射理 论、逐维小孔成像反向学习策略、融合贝塔分布和 逆不完全 $\Gamma$ 函数的权重, 来优化算法的寻优效率, 提高算法的稳定性, 以期望在每次迭代过程中获得 更好的优化结果.

3.实验结果

4.参考文献

[1]张达敏,徐航,王依柔,宋婷婷,王栎桥.嵌入Circle映射和逐维小孔成像反向学习的鲸鱼优化算法[J].控制与决策,2021,36(05):1173-1180.

5.Matlab代码

6.Python代码