【通信原理】第三章 -- 随机过程[下]

第三章 随机过程

窄带随机过程

• 若随机过程ξ(t)的谱密度集中在中心频率f_c附近相对窄的频带范围Δf内，即满足Δf<c条件，且f_c远离零频率，则称该ξ(t)为窄带随机过程
  • 实际上，大多数通信系统都是窄带带通型的，通过窄带系统的信号或噪声必然是窄带随机过程
• 窄带随机过程的一个样本的波形如同一个包络和相位随机缓变的正弦波
  • 其中，a_ξ(t)及φ_ξ(t)分别为窄带随机过程ξ(t)的随机包络和随机相位
    $$\xi (t)=a_{\xi }(t)cos[{\omega }_c(t)+{\phi }_{\xi }(t)]a_{\xi }(t)\ge 0$$
• 将上式进行三角函数展开，可以改写为
  $$\xi (t)={\xi }_c(t)cos{\omega }_c(t)-{\xi }_s(t)sin{\omega }_c(t)$$
  其中
  { ξ c ( t ) = a ξ ( t ) c o s φ ξ ( t ) − − 同相分量 ξ s ( t ) = a ξ ( t ) s i n φ ξ ( t ) − − 正交分量
  {ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)−−同相分量ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t)−−正交分量" role="presentation" style="position: relative;">⎧⎩⎨⎪⎪ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)−−同相分量ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t)−−正交分量$$\{\begin{array}{l}{\xi }_c(t)=a_{\xi }(t)cos{\phi }_{\xi }(t)--同相分量\\ {\xi }_s(t)=a_{\xi }(t)sin{\phi }_{\xi }(t)--正交分量\end{array}$$
  ⎩ ⎨ ⎧​ξc​(t)=aξ​(t)cosφξ​(t)−−同相分量ξs​(t)=aξ​(t)sinφξ​(t)−−正交分量​

ξ_c(t)和ξ_s(t)的统计特性

• 若窄带过程ξ(t)是平稳的，则ξ_c(t)与ξ_s(t)也必然是平稳的
  • ξ(t)、ξ_c(t)和ξ_s(t)具有相同的平均功率或方差-因为均值为0
    $$R_{\xi }(0)=R_c(0)=R_S(0)$$
    $${\sigma }_{\xi }^2={\sigma }_c^2={\sigma }_s^2$$
• 重要结论：
  1. 一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)，它的同相分量ξ_c(t)和正交分量ξ_s(t)同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同
  2. 在同一时刻上得到的ξ_c和ξ_s是互不相关或统计独立的

α_ξ(t)和φ_ξ(t)的统计特性

• 重要结论：
  1. 一个均值为零，方差为(σ_ξ)²的窄带平稳高斯过程ξ(t)，其包络a_ξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φ_ξ(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a_ξ(t)与φ_ξ(t)是统计独立(互不相关)的
     $$f(a_{\xi },{\phi }_{\xi })=f(a_{\xi })\cdot f({\phi }_{\xi })$$

正弦波加窄带高斯噪声

• 正弦波加窄带高斯白噪声的混合信号为
  $$r(t)=Acos({\omega }_c(t)+\theta )+n(t)$$
• 其中n(t) = n_c(t)cosω_c(t) - n_s(t)sinω_c(t)为窄带高斯白噪声
• 正弦波加窄带高斯噪声的包络分布f(z)与信噪比有关
  • 小信噪比时，接近于瑞利分布
  • 大信噪比时，接近于高斯分布
  • 一般情况下，是莱斯分布
• 正弦波加窄带高斯噪声的相位分布
  • 小信噪比时，接近于均匀分布
  • 大信噪比时，主要集中在有用信号相位附近

高斯白噪声和带限白噪声

• 如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称为高斯分布
• 如果白噪声通过理想矩形的低筒滤波器或理想低通信号，则输出的噪声称为低通白噪声
• 如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则其输出的噪声称为带通白噪声

总结

• 高斯平稳随机过程 -> 线性系统 -> 高斯分布
• 窄带高斯随机过程
  • 整体分布 -> 高斯分布
  • 同相分量分布 -> 高斯分布
  • 正交分量分布 -> 高斯分布
  • 包络分布 -> 瑞利分布
  • 相位分布 -> 均匀分布
• 窄带高斯随机过程 + 正弦波
  1. 小信噪比
     • 包络分布 -> 瑞利分布
     • 相位分布 -> 均匀分布
  2. 一般情况
     • 包络分布 -> 莱斯分布
  3. 大信噪比
     • 包络分布 -> 高斯分布
     • 相位分布 -> 集中于有用信号的相位