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资料援引

B站视频：wow，神奇的贝塞尔曲线！

博客：贝塞尔曲线简单介绍

知乎：曲线篇: 贝塞尔曲线

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贝塞尔曲线的用途

• 基于对汽车的的车身结构进行流体化设计而诞生
• 处理视频状态点之间的图像变化
• 随心所欲绘制曲线，比如：

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一阶贝塞尔（bezier）曲线

如上，$P_0$、$P_1$ 两点构成了一条线段，而我们可以通过一个函数——线性插值（lerp），来根据一个 $t$ 值（$t\in [0,1]$） 得到线段上一点 $P$（图中一直在滑动的点）。而 $P$ 的运动轨迹（红线），便是一阶贝塞尔线段（曲线）。线性插值的数学形式（一阶贝塞尔曲线公式）为：

$$P=lerp(P_0，P_1，t)=(1-t)P_0+t{P}_1$$

一阶贝塞尔曲线有两个端点（$P_0$、$P_1$ ），0个控制点。

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二阶贝塞尔（bezier）曲线

如上，假设现在有点 $P_2$ ，它与 $P_1$ 构成了新的线段，我们得到两个 一阶插值点（$Q_1$、$Q_2$），它们构成了绿色线段，值得注意的是，两个插值点具有相同的 $t$ 值。

而此时我们在绿色线段上生成一个 二阶插值点（$P$），并让它具有 与两个一阶插值点相同的$t$ 值。 那么该点的运动轨迹就是 二阶贝塞尔曲线。其公式推导为：

• 绿色线段左端点的运动轨迹：

$$Q_1=(1-t)P_0+t{P}_1$$

• 绿色线段右端点的运动轨迹：

$$Q_2=(1-t)P_1+t{P}_2$$

• 二阶贝塞尔曲线公式：

$$P=(1-t)Q_1+t{Q}_2$$
$$=(1-t)((1-t)P_0+t{P}_1)+t((1-t)P_1+t{P}_2)$$
$$=(1-t{)}^2{P}_0+2t(t-1)P_1+t^2{P}_2$$

二阶贝塞尔曲线有两个端点（$P_0$、$P_2$），一个控制点（$P_1$）。

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三阶贝塞尔（bezier）曲线

经过对一阶、二阶贝塞尔曲线的研究学习，我们能知道贝塞尔曲线通过在两点之间再采点的方式实现降阶，每一次选点都是一次的降阶。

• $P_0$、$P_1$、$P_2$、$P_3$ 通过生成插值点 $Q_1$、$Q_2$、$Q_3$ 来构成二阶贝塞尔（绿色线段）
• 在此基础上生成插值点 $O_1$、$O_2$ 来构成一阶贝塞尔（蓝色线段）
• 之后以 $O_1$、$O_2$ 上的插值点 $P$ 的运动轨迹来生成三阶贝塞尔曲线。

公式推导过程同二阶贝塞尔曲线，因此不做赘述，直接贴出公式：

$$P=(1-t{)}^3{P}_0+3t(1-t{)}^2{P}_1+3t^2(1-t)P_2+t^3{P}_3$$

三阶贝塞尔曲线有两个端点（$P_0$、$P_3$），两个控制点（$P_1$、$P_2$）。

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高阶贝塞尔（bezier）曲线

• 四阶贝塞尔曲线示意图：

• 五阶贝塞尔曲线示意图：

• 高阶贝塞尔曲线公式：

$$P(t)=\sum _{i=0}^n{P}_i{B}_{i,n}(t)，t\in [0,1]$$

$$B_{i,n}(t)=C_n^i{t}^i(1-t{)}^{n-i}=\frac{n!}{i!(n-i)!}{t}^i(1-t{)}^{n-i}，【i=0,1,...,n】$$