分期付款中的利率问题

最近贷款买了一件商品，贷款前商家说年利率只要 3.11%，看着确实挺低的，但后面发现由于是分期，综合年利率其实并不低。
买的这件商品共分 36期，每期偿还相等的金额，即：假设贷款金额是 $A$ 元，每期应偿还：
$$\frac{A+A\ast 0.0311\ast 3}{36}$$那么请问综合年利率大概是多少？下面就尝试算一算。
假设，贷款金额为 $A$ 元，综合年利率为 $x$，第 $i$ 期偿还的金额为：$y$（每期等额），其中本金为：$w(i)$，利息为：$v(i)$，则有以下几个等式：
$$y=\frac{A+A\ast 0.0311\ast 3}{36}\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$y=w(i)+v(i)\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$v(i)=(A-\sum _{j=1}^{i-1}w(j))\ast \frac{x}{12}\text{\hspace{1em}(3)}$$
$$\sum _{i=1}^{36}v(i)=A\ast 0.0311\ast 3\text{\hspace{1em}(4)}$$

已知上述 4个等式，求：$x$ ？

数学功底比较差，虽然列出式子，但不知道如何计算 😦 。只能手动编写以下程序求 $(3)$ 式中的 $x$，基本原理是：假设综合年利率在 0.0311（商家说的年利率）到 0.1（估计不会超过 10%）之间，那么可以从 [0.0311, 0.1]之间均匀选取 1000个点，再从这 1000个点中选取一个使 $(4)$ 式左右两端误差最小的 $x$ 值。仔细观察上面几个式子，可以发现在 $(4)$ 式展开后，等式两端可以同时约掉贷款本金，也就是说，贷款本金与综合年利率没有关系，下面代码中假设贷款本金为 100000。代码如下所示：

#include 

#define A 100000
#define CANDIDATE_MAX_NUM 1000

struct candidate {
	double rate;
	double result;
	double diff;
};

double abs_double(double num)
{
	return num >= 0 ? num : -num;
}

double v_sum(double rate)
{
	double y = (A + A * 0.0311 * 3) / 36;
	double vi, wi, w_sum = 0, _v_sum = 0;
	int i = 0;

	for (i = 1; i <= 36; ++i) {
		vi = (A - w_sum) * rate * 1 / 12;
		wi = y - vi;
		w_sum += wi;
		_v_sum += vi;
	}

	return _v_sum;
}

void calc(void)
{
	double min = 0.0311;
	double max = 0.1000;
	double step = (max - min) / CANDIDATE_MAX_NUM;
	double r = min;
	struct candidate cand = {0, 0, 0};
	double target = A * 0.0311 * 3;
	double result, diff;
	int i = 0;

	for (i = 0; i < CANDIDATE_MAX_NUM; ++i) {
		result = v_sum(r);
		diff = abs_double(result - target);
		if (i == 0 || diff < cand.diff) {
			cand.rate = r;
			cand.result = result;
			cand.diff = diff;
		}
		r += step;
	}

	printf("rate = %lf, result = %lf, target = %lf, diff = %lf\n",
		cand.rate, cand.result, target, cand.diff);
}

int main(void)
{
	calc();

	return 0;
}
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程序运行结果如下：

[zhoumin@localhost]$ ./main 
rate = 0.058867, result = 9334.592459, target = 9330.000000, diff = 4.592459
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由上面的运行结果可知，计算出的综合年利率 $x$ 为 5.88%，比商家所说的年利率高了不少，这样来看，分期付款的综合年利率其实并不低。