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[NOIP1998 提高组] 进制位 - 洛谷

题目描述

著名科学家卢斯为了检查学生对进位制的理解，他给出了如下的一张加法表，表中的字母代表数字。 例如：

+    L    K      V      E
L    L    K      V      E
K    K    V      E     KL
V    V    E     KL     KK
E    E    KL    KK     KV

其含义为：

L+L=L，L+K=K，L+V=V，L+E=E

K+L=K，K+K=V，K+V=E，K+E=KL

⋯

E+E=KV

根据这些规则可推导出：L=0，K=1，V=2，E=3。

同时可以确定该表表示的是 4 进制加法。

输入格式

第一行一个整数 nn （3 <= n <= 9）表示行数。

以下 n行，每行包括 n 个字符串，每个字符串间用空格隔开。

这里的数据范围大家可以到原题看，因为数据范围特别长，我复制的时候到这里粘贴有一串乱码，所以没有写。

保证至多有一组解。

输出格式

第一行输出各个字母表示什么数，格式如：L=0 K=1 ⋯ 按给出的字母顺序排序。不同字母必须代表不同数字。

第二行输出加法运算是几进制的。

若不可能组成加法表，则应输出 ERROR!。

输入输出样例

输入

5
+ L K V E
L L K V E
K K V E KL
V V E KL KK
E E KL KK KV

输出 

L=0 K=1 V=2 E=3

题解

著名科学家卢斯为了检查学生对进位制的理解，他给出了如下的一张加法表，表中的字母代表数字。 例如：
+. L K V E
L L K V E
K K V E KL
V V E KL KK
E E KL KK KV
其含义为：

L+L=L，L+K=K，L+V=V，L+E=E
K+L=K，K+K=V，K+V=E，K+E=K

…… E+E=KV

根据这些规则可推导出：L=0,K=1,V=2,E=3
同时可以确定该表表示的是4进制加法

输入 n(n≤9)表示行数。

以下n行，每行包括n个字符串，每个字串间用空格隔开。（字串仅有一个为‘+’号，其它都由大写字母组成）

输出 ① 各个字母表示什么数，格式如：L=0，K=1，……按给出的字母顺序。

② 加法运算是几进制的。

③ 若不可能组成加法表，则应输出“ERROR!”
解题：

1·字符串与

• 是一个键值对key——value的映射。实现是由内部的一棵以key为关键码的红黑树。
• 而key和value是任意类型，其中key必须定义“小于号”运算符
• 例如:

​
#### map vis;    
#### map hash;    
#### map,vector > test        
所以当我们遇到字符串类型的问题时，便可以用map作hash表，建立字符型（char，string……）key到整型（int，long long ……)value的映射，但平衡树（logn）略慢于hash函数实现的hash表      
 
​

相关函数：

size/empty/clear/begin/end (元素个数，判空，清空，首（迭代器），尾（迭代器））
 
//迭代器都关系二元组pair
 
insert/erase(插入，删除）（迭代器）
 
find 对于 name.find(x):表示在变量名为name的map中查找key为x的二元组，若不存在·，返回name.end() //(logn)
 
name[key] 返回key映射的value
 
//借此可以方便的获得key对应的value，并可以进行赋值（使用之前先用find检查存在性）

2·解题部分

---

首先最靠谱的解法：先将0,1判断出来，0是和等于某数本身的，1是两位数的十位，然后推出其他数字
（比如找到加数为1的那行，得到若干形如x+1=y的式子，于是连一条从x到y的边，由于我们知道0是那个数字，最后就可以依据边的连接关系推出所有字母…… 最后再检验检验，错了就输出 ERROR! 即可。）
并判断对不对……

---

思考在十进制下，0+9=9，该行无二位数；
1+9=10，1+8=9，该行有一个二进制数；
2+9=11,2+8=10,2+7=9,该行有两个二进制数； 我们可以得出

(1) 对于任意字母L的一行，两位数个数等于L的值；

证明，设L=x，设对应某一列的值为y，进制为z，则有：

x+y=x+(z-(z-y))=x+z-(z-y)=z+(x-(z-y))x+y=x+(z−(z−y))=x+z−(z−y)=z+(x−(z−y))

因为z加上一个大于0的数一定是一个两位数，换过来，如果要z+（x-（z-y））是一个两位数，则x-（z-y）>=0,所以x-(z-y)=0时恰好取得最后一个两位数，也正好对应了x的值。

• 另外，特别观察对于z本身是不是两位数的问题：
  （其实本题n<=9并不需要想这么多）
  例如z=4,如题四个数分别是0,1,2,3，此时，0+3=3（x=0,y=3,z=4）,1+3=10(x=1,y=3,z=4),发现满足上述性质
  这样我们便有了计算每个字母是多少的方法； 那么如何判断进制？
  严肃的问题来了。

（2）对于给出数据的合理性

我们发现，题目并没保证给出的数据都是像样例这样整齐漂亮而有规律的，于是我们面临了几个情况：

1. 是否满足进制内的数都有？
2. 某一字母是否可能超出进制？

->我们所找的两位数的存在问题
对于这两个问题，我们先探究加法表的存在性问题：
首先题目隐藏信息：

	 进制一定大于最大字母（不然就出锅了）

所以我们就获得了条件：数位最高为2，十位最大为1
(因为有两位数所以必定有1，有1所以0~n-2必定都有 (下方证明)
这样就**满足进制内的数都有，并且不会有某一字母超出进制 **
这就好办了，整理一下现在我们拥有的信息：

• 有n行n列表示n-1个个位数（n<=9）（第1行第1列都是表头）

• 一定是能加出两位数来的：

    还是先举例子再证明->n=4来列表
    如果表中没有两位数
    + 0  1  2 
    0 0  1  2
    1 1  2  3
    2 2  3  4
    明显出现了不存在的字母
    那假如是设进制z=4呢？对于z=4并且没有两位数的表：
    + 0 1 2
    0 0 1 2
    1 1 2 3
    2 2 3 4
    明显表中不但不得不出现4，但4已经应该进位，而且还是存在
    表头中不存在的字母的情况
    下面规范的证明一下：
    设在表n中，最大个位数X，进制z
    设表中无两位数
    则X < z/2  此时有（X+X）作为表中最大数位个位数且小于
    进制z，于假设最大个位数X冲突，所以表中无两位数的假设不
    成立。
  

• 进制z=n-1

  由上面的证明的第二幅图可以看出
  如果只是将最下角的4作为两位数10，加法表中存在3，而表头中
  最大数为2，仍然不成立，所以这幅图四进制明显不对，由于表头
  中最大值是2，所以表中大于二便要进位，即进制z=3，而n=4，
  z=n-1=X+1成立。
  规范证明：已知表头中有n-1个个位数，设最大个位数X，由
  （1）的逆定理，L的值等于两位数个数，则正好存在一个两位数
  时，L=1，并且两位数是这一行中最大的数，即等于L+X=1+X，
  X=n-2，L+X=n-1，因为X本身已经是最大的个位数，L=1又是除0
  外最小的个位数，所以L+X=z，证得z=n-1
  

这样我们的信息就完整了，解决题目
z=n-1直接炸出进制，然后统计每一行两位数个数计算字母所代表的数字（** 并且这里两位数的高位上必定是1,->两个个位无论如何加不爆十位啊** ）

（3）判错

怎么样构不成加法表？

1. 对于一个数值，若某字母已经符合过，那一定是错误的

2. 超级好懂的无脑法：再把整个矩阵遍历一遍，看看每一个位置上的字母对不对（注意字母顺序）

3. 对于一个0，1以外的字母，只会在+0时出现，即一行中除表头只出现一次

4. 然而这个特判写起来很繁琐，怎么快捷的判错？？（这里其他题解大概讲了，但因为这种判错确实是较优的所以仍然选择这种，不再给出过多证明）： 对比两种计算字母值方法的结果是否相同
   ##### 另一种计算字母值的方法：对于字母X，X=n-2-（X在两位数的个位上出现次数）（还是给一句吧不然难受，对于n-2上面已经出现过了，是最大的个位数，而X在两位数个位出现次数即二位数（z+X）的个数，将图左下角到右上角做对角线就能发现分布规律）

（另外，一觉起来发现打表基本都被gank了，打开最优解发现了dfs 0ms的魔王，我这种蒟蒻可还是去睡觉吧） 如有不足请在评论区打脸，会及时补充更正题解

code：

​
// luogu-judger-enable-o2
#include
#define fu(i,q,w) for(register int i=q;i<=w;i++)
#define fd(i,q,w) for(register int i=q;i>=w;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
inline int read(){
    int ret=0,f=1;char c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')f=-1;
    while(c>='0'&&c<='9')ret=ret*10+(c-'0'),c=getchar();
    return ret*f;
}
char word[10];//记录字母 
char check[10];//检查重复 
string numx,numy;//储存输入数据、检查重复 
map<char,int> two;//一行中两位数个数 
map<char,int> tone;//存字母在两位数个位出现几次 
int n;
void in(){
    n=read();
    cin>>numx;//"+"特判输入 
    fu(i,1,n-1){cin>>numx,word[i]=numx[0];}// 第一行存表头的每个字母 
    fu(i,1,n-1)//从第二行开始 
    fu(j,1,n){cin>>numx;
            
        if(j!=1&&j!=2)//表头不算
        if(numx==numy){printf("ERROR!");exit(0);}//发现重复输入一定不对 
        numy=numx; //前后比，不要全行比
        if(numx.size()==2){//统计两位数个数 
            two[word[i]]++;tone[numx[1]]++;
        }
    }
}
void solve(){
    fu(i,1,n-1)
    if(two[word[i]]!=n-2-tone[word[i]]){printf("ERROR!");exit(0);}
    //比较两种算法的结果是否相同
 	fu(i,1,n-1)
 	cout<'='<' ';
 	printf("\n");
 	printf("%d",n-1);
 	
 	
    }
int main(){
    in();
    solve();
    return 0; 
    
}
 
​