傅里叶级数与傅里叶变换_Part7_离散傅里叶变换的性质

0、Part6 内容复习

离散傅里叶变换/逆变换的公式如下：

$X\left(n\right)=\sum _{k=0}^{N-1}x\left(k\right)e^{-in\frac{2\pi k}{N}}$

$x\left(m\right)=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}\left[X\left(n\right)\cdot e^{in\frac{2\pi m}{N}}\right]$

换换符号，等价重写一下

$X\left(k\right)\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-ik\frac{2\pi n}{N}}$

$x\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}\left[X\left(k\right)\cdot e^{ik\frac{2\pi n}{N}}\right]$

1、共轭性质

1.1 原理证明

$X\left(k\right)\triangleq \sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-ik\frac{2\pi n}{N}}$

$X\left(N-k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-i\left(N-k\right)\frac{2\pi n}{N}}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-i\left(2\pi n-k\frac{2\pi n}{N}\right)}$

根据欧拉公式，$e^{-i\theta }=\cos \theta -j\sin \theta$

$X\left(N-k\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-i\left(2\pi n+k\frac{2\pi n}{N}\right)}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)\left[\cos \left(2\pi n-k\frac{2\pi n}{N}\right)-j\sin \left(2\pi n-k\frac{2\pi n}{N}\right)\right]$

因为cos和sin函数都是以2Π为周期的函数，因此

X ( N − k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ cos ⁡ ( − k 2 π n N ) − j sin ⁡ ( − k 2 π n N ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ cos ⁡ ( k 2 π n N ) + j sin ⁡ ( k 2 π n N ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) cos ⁡ ( k 2 π n N ) + ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) sin ⁡ ( k 2 π n N ) ⋅ j = a k + b k j

X(N−k)​=n=0∑N−1​x(n)[cos(−kN2πn​)−jsin(−kN2πn​)]=n=0∑N−1​x(n)[cos(kN2πn​)+jsin(kN2πn​)]=n=0∑N−1​x(n)cos(kN2πn​)+n=0∑N−1​x(n)sin(kN2πn​)⋅j=ak​+bk​j​

而
X ( k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − i k 2 π n N = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ cos ⁡ ( k 2 π n N ) − j sin ⁡ ( k 2 π n N ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) cos ⁡ ( k 2 π n N ) − ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) sin ⁡ ( k 2 π n N ) ⋅ j = a k − b k j

X(k)​=n=0∑N−1​x(n)e−ikN2πn​=n=0∑N−1​x(n)[cos(kN2πn​)−jsin(kN2πn​)]=n=0∑N−1​x(n)cos(kN2πn​)−n=0∑N−1​x(n)sin(kN2πn​)⋅j=ak​−bk​j​

因此可得，$X\left(N-k\right)=X^{\ast }\left(k\right)$

1.2 MatLAB小实验

x = 1000 +500* sin(2 * pi * 50 * t + pi/6) + 250 * sin(2 * pi * 150 * t + pi/4) + 100 * sin(2 * pi * 250 * t+pi/3); 
1

其中 T = 0.001; N = 2000; t = (1:N)*dt;
对序列进行x(n)离散傅里叶变换，可得X(k)的幅值和相位图


从实验结果确实来看，离散傅里叶变换的对称位置，幅值相等，相位相反。确实的共轭的。即 X ( N − k ) = X ∗ ( k ) , k ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   , N − 1 } X\left( {N - k} \right) = {X^*}\left( k \right),k \in \left\{ {0,1,2, \cdots ,N - 1} \right\} X(N−k)=X∗(k),k∈{0,1,2,⋯,N−1}

MatLAB代码附在文末4.4中。

X(k)对应的频率

注意到4.4附录的MatLAB代码有一行，单独拎出来进行解释解释。

figure(2); plot((0:N)/N/dt,abs(X)/N,'b','LineWidth',1.5);
1

(0:N)/N/dt相当于$F\left(k\cdot \frac{2\pi }{NT}\right)$中的 $k\cdot \frac{1}{NT}$，为什么没有$\times 2\pi$，如果$\times 2\pi$，频率单位就是弧度制rad/s， 如果没有$\times 2\pi$ ，频率单位就是Hz。
也就是说 X(k)对应的频率是 $\frac{2\pi k}{NT}$ （rad/s） | $\frac{k}{NT}$ (Hz)。

2、幅值相位性质

2.1 原理证明

$X\left(0\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-i0}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)$ 没有虚部，是直流分量， 假设 $N$是偶数。

$X\left(\frac{N}{2}\right)=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-i\frac{N}{2}\frac{2\pi n}{N}}=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)e^{-in\pi }=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)\cos \left(n\pi \right)-\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)\sin \left(n\pi \right)j=\sum _{n=0}^{N-1}x\left(n\right)\cos \left(n\pi \right)$

$X\left(\frac{N}{2}\right)$也没有虚部，也是直流分量。

下面考虑$x\left(n\right)$ ，仍然假设$N$ 是偶数

N × x ( n ) = N × 1 N ∑ k = 0 N − 1 [ X ( k ) ⋅ e i k 2 π n N ] = X ( 0 ) + X ( 1 ) e i 2 π n N + X ( 2 ) e i 2 2 π n N + ⋯ + X ( N 2 ) cos ⁡ ( n π ) + X ( N 2 + 1 ) e i ( N 2 + 1 ) 2 π n N + ⋯ + X ( N − 1 ) e i ( N − 1 ) 2 π n N

N×x(n)=N×N1​k=0∑N−1​[X(k)⋅eikN2πn​]=X(0)+X(1)eiN2πn​+X(2)ei2N2πn​+⋯+X(2N​)cos(nπ)+X(2N​+1)ei(2N​+1)N2πn​+⋯+X(N−1)ei(N−1)N2πn​​

定义直流分量 $A_0=X\left(0\right)+X\left(\frac{N}{2}\right)\cos \left(n\pi \right)$ ， 根据傅里叶变换的共轭性质设 $X\left(N-k\right)=a_k+b_{k}j$, $X\left(k\right)=a_k-b_{k}j$

X ( k ) e i k 2 π n N + X ( N − k ) e i ( N − k ) 2 π n N = ( a k + b k j ) [ cos ⁡ ( k 2 π n N ) + sin ⁡ ( k 2 π n N ) j ] + ( a k − b k j ) [ cos ⁡ ( 2 π n − k 2 π n N ) + sin ⁡ ( 2 π n − k 2 π n N ) j ] = ( a k + b k j ) [ cos ⁡ ( k 2 π n N ) + sin ⁡ ( k 2 π n N ) j ] + ( a k − b k j ) [ cos ⁡ ( k 2 π n N ) − sin ⁡ ( k 2 π n N ) j ]

X(k)eikN2πn​+X(N−k)ei(N−k)N2πn​=(ak​+bk​j)[cos(kN2πn​)+sin(kN2πn​)j]+(ak​−bk​j)[cos(2πn−kN2πn​)+sin(2πn−kN2πn​)j]=(ak​+bk​j)[cos(kN2πn​)+sin(kN2πn​)j]+(ak​−bk​j)[cos(kN2πn​)−sin(kN2πn​)j]​

= a k cos ⁡ ( k 2 π n N ) + [ a k sin ⁡ ( k 2 π n N ) + b k cos ⁡ ( k 2 π n N ) ] j − b k sin ⁡ ( k 2 π n N ) + a k cos ⁡ ( k 2 π n N ) − [ a k sin ⁡ ( k 2 π n N ) + b k cos ⁡ ( k 2 π n N ) ] j − b k sin ⁡ ( k 2 π n N ) = 2 a k cos ⁡ ( k 2 π n N ) − 2 b k sin ⁡ ( k 2 π n N )

=ak​cos(kN2πn​)+[ak​sin(kN2πn​)+bk​cos(kN2πn​)]j−bk​sin(kN2πn​)+ak​cos(kN2πn​)−[ak​sin(kN2πn​)+bk​cos(kN2πn​)]j−bk​sin(kN2πn​)=2ak​cos(kN2πn​)−2bk​sin(kN2πn​)​

= ( 2 a k ) 2 + ( 2 b k ) 2 × [ 2 a k ( 2 a k ) 2 + ( 2 b k ) 2 cos ⁡ ( k 2 π n N ) − 2 b k ( 2 a k ) 2 + ( 2 b k ) 2 sin ⁡ ( k 2 π n N ) ] = 2 a k 2 + b k 2 × [ cos ⁡ φ k cos ⁡ ( k 2 π n N ) − sin ⁡ φ k sin ⁡ ( k 2 π n N ) ] = 2 a k 2 + b k 2 cos ⁡ ( k 2 π n N + φ k ) = A k cos ⁡ ( k 2 π n N + φ k ) , A k = 2 a k 2 + b k 2 , φ k = arctan ⁡ b k a k

=(2ak​)2+(2bk​)2 ​×[(2ak​)2+(2bk​)2 ​2ak​​cos(kN2πn​)−(2ak​)2+(2bk​)2 ​2bk​​sin(kN2πn​)]=2ak2​+bk2​ ​×[cosφk​cos(kN2πn​)−sinφk​sin(kN2πn​)]=2ak2​+bk2​ ​cos(kN2πn​+φk​)=Ak​cos(kN2πn​+φk​),Ak​=2ak2​+bk2​ ​,φk​=arctanak​bk​​​

N × x ( n ) = X ( 0 ) + X ( N 2 ) cos ⁡ ( n π ) + ∑ k = 1 N 2 − 1 [ X ( k ) e i k 2 π n N + X ( N − k ) e i ( N − k ) 2 π n N ] = A 0 + A 1 cos ⁡ ( 1 2 π n N + φ 1 ) + A 2 cos ⁡ ( 2 2 π n N + φ 2 ) + ⋯ + A N 2 − 1 cos ⁡ ( ( N 2 − 1 ) 2 π n N + φ N 2 − 1 )

N×x(n)=X(0)+X(2N​)cos(nπ)+k=1∑2N​−1​[X(k)eikN2πn​+X(N−k)ei(N−k)N2πn​]=A0​+A1​cos(1N2πn​+φ1​)+A2​cos(2N2πn​+φ2​)+⋯+A2N​−1​cos((2N​−1)N2πn​+φ2N​−1​)​

根据上述推导的结论，已经可以给出我们启示。下面用MatLAB实验进行分析和探讨。

2.2 MatLAB小实验

还是用1.2使用的序列进行分析

x = 1000 +500* sin(2 * pi * 50 * t + pi/6) + 250 * sin(2 * pi * 150 * t + pi/4) + 100 * sin(2 * pi * 250 * t+pi/3);
1

其中 T = 0.001; N = 2000; t = (1:N)*dt;

对序列进行x(n)离散傅里叶变换，可得X(k)的幅值和相位图

在我们给出的信号当中，存在一个频率为50Hz的信号500* sin(2 * pi * 50 * t + pi/6)分量，显然它的幅值是500，相位是30°
但在离散傅里叶变换的结果中，却是250的幅值，-60°的相位。 这是为什么呢？ 下面进行详细分析。

幅值性质分析

找到50Hz的信号对应的 $X\left(k\right),X\left(N-k\right)$

X(k) = 2.5000e+05 - 4.3301e+05i

X(N-k) = 2.5000e+05 + 4.3301e+05i

在本例中 N = 2000

我先给 X(k)和X(N-k)来一个1/N

X(k) = 125 - 216.5i
= ak + bki
X(N-k) = 125 + 216.5i
= ak - bki
根据2.1的推导结论可知，在离散傅里叶逆变换的时，$X\left(k\right),X\left(N-k\right)$ 会产生一个$A_k\cos \left(k\frac{2\pi n}{N}+{\phi }_k\right)$ 信号。

其中，$A_k=2\sqrt{a_k^2+b_k^2}=2\times \sqrt{{125}^2+{\left(-216.5\right)}^2}=499.989$

到这里，就可以解释信号明明是500的振幅，离散傅里叶变换却产生的是两个幅值为250的复数。

应用：要得到一个频率点的振幅， 离散傅里叶变换之后， 先/N，再*2。

相位性质分析

延续上述的分析，重点关注相位，${\phi }_k=\arctan \frac{b_k}{a_k}=\arctan \frac{-216.5}{125}=\arctan \left(-1.732\right)=-60^o$

$\cos \left(k\frac{2\pi n}{N}+{\phi }_k\right)=\sin \left[{90}^o+\left(k\frac{2\pi n}{N}+{\phi }_k\right)\right]=\sin \left(k\frac{2\pi n}{N}+{30}^o\right)$ ，

👉 给点小提示 $\sin \left({90}^o+\theta \right)=\sin \left[90-\left(-\theta \right)\right]=\cos \left(-\theta \right)=\cos \theta$

到这里，就能解释给定正弦信号的相位明明是30°，离散傅里叶变换产生的相位却是-60°了。

应用：要得到一个频率点的sin相位， 离散傅里叶变换之后， +90°。

进一步分析，假设我把原始信号换成如下的信号呢?

x = 1000 +500* cos(2 * pi * 50 * t + pi/6) + 250 * cos(2 * pi * 150 * t + pi/4) + 100 * cos(2 * pi * 250 * t+pi/3);
1

结果如下

仍然只关注50Hz处，结果可以看出相位是30°与给定相位符和。 因为给定的原始信号本身就是余弦信号，所以不需要+90°就能得到余弦的相位。

3、周期性质

3.1 原理证明

下面从理论上去证明离散傅里叶变换的周期性质。
X ( N + k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − i ( 2 π n + k 2 π n N ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − i ( 2 π n + k 2 π n N ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ cos ⁡ ( 2 π n + k 2 π n N ) − j sin ⁡ ( 2 π n + k 2 π n N ) ]

X(N+k)​=n=0∑N−1​x(n)e−i(2πn+kN2πn​)=n=0∑N−1​x(n)e−i(2πn+kN2πn​)=n=0∑N−1​x(n)[cos(2πn+kN2πn​)−jsin(2πn+kN2πn​)]​

同用到cos和sin函数都是以2Π为周期的函数，因此

X ( N + k ) = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ cos ⁡ ( 2 π n + k 2 π n N ) − j sin ⁡ ( 2 π n + k 2 π n N ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) [ cos ⁡ ( k 2 π n N ) − j sin ⁡ ( k 2 π n N ) ] = ∑ n = 0 N − 1 x ( n ) e − i k 2 π n N = X ( k )

X(N+k)​=n=0∑N−1​x(n)[cos(2πn+kN2πn​)−jsin(2πn+kN2πn​)]=n=0∑N−1​x(n)[cos(kN2πn​)−jsin(kN2πn​)]=n=0∑N−1​x(n)e−ikN2πn​=X(k)​

$X\left(N+k\right)=X\left(k\right)$这说明了离散傅里叶变换是以$N$为周期的周期函数。

3.1 MatLAB小实验

把X(k) | X(N+k) | X(2N+k)全部都画出来了。【代码，将上述MatlLAB的num赋值为3即可】

从图中可以看出离散傅里叶变换是周期性质的，其中每个周期开始的第一个值，是直流分量。用下图用红色方框分别构框住了三个周期。

4、附录：MatLAB代码

close all;  clear all;  clc;
 
dt = 0.001;
N = 2000;
t = (1:N)*dt;
x = 1000  + 500 * sin(2 * pi * 50 * t + pi/6) + 250 * sin(2 * pi * 150 * t + pi/4) + 100 * sin(2 * pi * 250 * t+pi/3);
% x = 1000 +500* cos(2 * pi * 50 * t + pi/6) + 250 * cos(2 * pi * 150 * t + pi/4) + 100 * cos(2 * pi * 250 * t+pi/3);
figure(1);plot(t,x,'r','LineWidth',1.5);grid on; hold on; title('生成的离散信号');
xlabel('时间 T / s');
 
num = 1;
% num = 3;
% DFT
X = zeros(1,num*N+1);
for k=1:num*N
    for n = 1:N
        X(k) =  X(k) + x(n)*exp((-(k-1)*2*pi*n/N)*1i);
    end
end
figure(2);plot((0:num*N)/(N*dt),abs(X)/N,'b','LineWidth',1.5);grid on; hold on; title('离散傅里叶变换-幅值'); xlabel('频率f / Hz');

axis([-100,num*1000+100,-500,1500]);
 
 
P = angle(X)*180/pi;
P1 = zeros(1,N+1);
P1(0+1)=P(0+1);
P1(100+1)=P(100+1);
P1(300+1)=P(300+1);
P1(500+1)=P(500+1);
 
P1(N+1-0)=P(N+1-0);
P1(N+1-100)=P(N+1-100);
P1(N+1-300)=P(N+1-300);
P1(N+1-500)=P(N+1-500);
 
figure(3);plot((0:N)/(N*dt),P1,'b','LineWidth',1.5);grid on; hold on; title('离散傅里叶变换-相位(仅提取了关注的位置)');
xlabel('频率f / Hz');
axis([-100,1100,-180,180]);
 
%IDFT
y = zeros(1,N);
for n=1:N
    for k = 1:N
        y(n) =  y(n) + (1/N)*X(k)*exp(((k-1)*2*pi*n/N)*1i);
    end
end
figure(4);plot(t,y,'k','LineWidth',1.5);grid on; hold on; title('离散傅里叶逆变换');
xlabel('时间 T / s');
 
figure(5);plot(t,x-y,'g','LineWidth',1.5);grid on; hold on; title('误差');

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