什么是行列式
教科书对二阶行列式的定义是这样的。
对于一个二元一次方程组：
{a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2{a11x+a12y=b1a21x+a22y=b2
经过消元可以得到：
(a12a21−a22a11)y=a21b1−a11b2(a12a21−a22a11)y=a21b1−a11b2
x
我们发现当 a12a21≠a22a11 方程有唯一解。
这时我们这样来表示 a11a22−a12a21：
|a11a12a21a22|=a11a22−a12a21
所以我根本没有搞懂有什么用。
下面来介绍一种比较好懂的理解方法。
我们知道“ 矩阵可以表示一组向量，方阵表示 n 个 n 维向量 ”。
也就是每行看成一个向量，竖着把所有向量合并可以确定一个 n 维的图形。
来张二维的图看一看：
我们的二阶行列式在上图中就表示平行四边形的面积。
当然，二维是面积，三维是体积，四维是 ？？？ ……
上面这个平行四边形面积可以表示为：
detA=|abcd|
注意到，每一行都对应上图中的一个向量。
行列式的求法
我们从小学数学入手，先求上述平行四边形的面积（辅助线做法省略）
S平行四边形=(a+c)(b+d)−2bc−cd−ab=ad−bc=detA
也就是：
|abcd|=ad−bc
行列式的基本性质
下面以二阶行列式展开讨论。
性质一
detI=1
I 表示单位矩阵，这很好理解：
所有向量都是 “横平竖直” 且长度都是一，面积一定是 1。
性质二
交换行列式的两行，则行列式的值取反。
用数学公式表示：
|abcd|=−|cdab|
证明很简单：
|abcd|=ad−bc
|cdab|=bc−ad=−(ad−bc)=−|cdab|
性质三
直接用数学公式表达吧。（语文不行）
|kakbcd|=k|abcd|
简单证明一下吧。
|kakbcd|=kad−kbc=k(ad−bc)
注意：det(kA)≠kdet(A)
对于二阶行列式：
det(kA)=|kakbkckd|=ka×kd−kc×kb=k2(ad−bc)=k2|abcd|=k2det(A)
由此可以推出，对于 n 阶的行列式：
det(kA)=kndet(A)
性质四
方阵的某一行加上一行数，则有：
|a+a′b+b′cd|=|abcd|+|a′b′cd|
证明一下：
|a+a′b+b′cd|=(a+a′)d−c(b+b′)=ad+a′d−cb−cb′=(ad−bc)+(a′d−b′c)=|abcd|+|a′b′cd|