题目

标题和出处

标题：有效括号的嵌套深度

出处：1111. 有效括号的嵌套深度

难度

6 级

题目描述

要求

一个字符串是有效括号字符串，当且仅当该字符串只包含 $\text{"("}$ 和 $\text{")"}$，且满足下列条件之一：

• 字符串是一个空字符串；
• 字符串可以写为 $\text{AB}$（$\text{A}$ 与 $\text{B}$ 字符串连接），其中 $\text{A}$ 和 $\text{B}$ 都是有效括号字符串；
• 字符串可以写为 $\text{(A)}$，其中 $\text{A}$ 是一个有效括号字符串。

对于有效括号字符串 $\text{S}$，其嵌套深度 $\text{depth(S)}$ 定义如下：

• $\text{depth("")}=0$；
• $\text{depth(A + B) = max(depth(A), depth(B))}$，其中 $\text{A}$ 和 $\text{B}$ 都是有效括号字符串；
• $\text{depth("(" + A + ")") = 1 + depth(A)}$，其中 $\text{A}$ 是一个有效括号字符串。

例如，$\text{""}$、$\text{"()()"}$ 和 $\text{"()(()())"}$ 是有效括号字符串（嵌套深度分别是 $\text{0}$、$\text{1}$ 和 $\text{2}$），$\text{")("}$ 和 $\text{"(()"}$ 不是有效括号字符串。

给定一个有效括号字符串 $\text{seq}$，将其分成两个不相交的子序列 $\text{A}$ 和 $\text{B}$，使得 $\text{A}$ 和 $\text{B}$ 是有效括号字符串，且 $\text{A.length + B.length = seq.length}$。

选择任意的 $\text{A}$ 和 $\text{B}$ 使得 $\text{max(depth(A), depth(B))}$ 的值最小。

返回数组 $\text{answer}$（长度为 $\text{seq.length}$），表示选择 $\text{A}$ 和 $\text{B}$ 的编码：如果 $\text{seq[i]}$ 分给 $\text{A}$ 则 $\text{answer[i] = 0}$，否则 $\text{answer[i] = 1}$。如果存在多个满足要求的答案，只需返回其中任意一个即可。

示例

示例 1：

输入：$\text{seq = "(()())"}$
输出：$\text{[0,1,1,1,1,0]}$

示例 2：

输入：$\text{seq = "()(())()"}$
输出：$\text{[0,0,0,1,1,0,1,1]}$

数据范围

• $\text{1}\le \text{seq.size}\le \text{10000}$

解法

思路和算法

在考虑将有效括号字符串分成两个不相交的子序列之前，首先需要考虑每个括号所在的嵌套深度。有效括号字符串中，每个左括号都有一个匹配的右括号，一对匹配的左右括号的嵌套深度相同。

为了计算每个括号所在的嵌套深度，可以使用栈存储左括号，根据栈内元素个数得到嵌套深度。从左到右遍历有效括号字符串 $\text{seq}$，遇到左括号则将左括号入栈，遇到右括号则将栈顶的左括号出栈，表示当前的右括号和栈顶的左括号匹配。根据嵌套深度的定义，左括号和右括号的嵌套深度分别计算如下：

• 对于左括号，在入栈操作之后的栈内元素个数为左括号的嵌套深度；

• 对于右括号，在出栈操作之前的栈内元素个数为右括号的嵌套深度。

明确括号的嵌套深度的计算方法之后，回到原问题，将有效括号字符串 $\text{seq}$ 分成两个不相交的子序列 $A$ 和 $B$，使得两个子序列的嵌套深度最小。只要栈内的一半括号属于子序列 $A$，另一半括号属于子序列 $B$，即可满足两个子序列的嵌套深度最小。实现方面，将奇数层的括号分给 $A$，将偶数层的括号分给 $B$ 即可。

由于一对匹配的左右括号的嵌套深度相同，因此一对匹配的左右括号一定在同一个子序列中。由此可知，任意一个子序列中的左右括号数量一定相等，且左括号一定出现在与之匹配的右括号之前，因此两个子序列都是有效括号字符串。

由于栈内只存储左括号，因此并不需要真正维护一个栈，只需要记录遍历过程中的嵌套深度即可。

代码

class Solution {
    public int[] maxDepthAfterSplit(String seq) {
        int length = seq.length();
        int[] answer = new int[length];
        int depth = 0;
        for (int i = 0; i < length; i++) {
            if (seq.charAt(i) == '(') {
                depth++;
                answer[i] = depth % 2 == 1 ? 0 : 1;
            } else {
                answer[i] = depth % 2 == 1 ? 0 : 1;
                depth--;
            }
        }
        return answer;
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是字符串 $\text{seq}$ 的长度。需要遍历字符串 $\text{seq}$ 一次，每次更新嵌套深度的时间都是 $O(1)$。

• 空间复杂度：$O(1)$。除了返回值以外，使用的空间复杂度是常数。