287. 寻找重复数

287. 寻找重复数

题意

---

解一

• 二分答案

简单解释，官解也很详细。

定义：$dp[i]$ 表示 $nums[i]$ 中 $<=i$ 的数的个数。

看这样一个序列：
nums：3 1 3 4 2
dp： 1 2 4 5

性质：自重复的数起，之后所有 $dp[i]$ 都 $>i$ ，之前都 $<=i$。

在看这样一个序列：
nums：3 1 3 4 3
dp： 1 1 4 5

尽管重复了多次，但是还是满足上面的性质。

那么我们二分答案，统计 $<=mid$ 的数的个数，如果个数 $>mid$ ，说明是在右侧，可能是答案，$r=mid$，否则 $l=mid+1$。

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int l = 1, r = n;
        while(l < r) {
            int mid = (l + r) >> 1;
            auto f = [=](int x){
                int res = 0;
                for (int i = 0; i < n; i++)
                    if(nums[i] <= x) res += 1;
                return res <= x;
            };
            if(f(mid)) l = mid + 1;
            else r = mid;
        }
        return r;
    }
};
/* 一旦加上了重复的数，那么之后一定更大
// 二分check，更小就不要，说明在答案左，l向右调整。
    nums: 1 3 2 4 2

    [1234]: 1 3 4 5
        mid: 3 -> res = 4, r = 3
        mid: 2 -> res = 3, r = 2
        mid: 1 -> res = 1, l = 2
        l == r = 2
    
    nums: 1 3 2 3 4 3

    [1234]: 1 2 5 6
        mid: 3 -> res = 5, r = 3
        mid: 2 -> res = 2, l = 3
        l == r = 3
*/
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36

解二

• 二进制

• 重复一次：

  • 重复的数为 $x$，$[1,n]$ 都各出现一次，外加 $x$ 多出现一次。
  • 统计二进制下 $1$ 的个数，原序列相比 $[1,n]$ 序列，多出的 $1$ 都是由 $x$ 产生。

• 重复多次：

  • 重复的数为 $x$，$x$ 代替 $[1,n]$ 中没出现的数 $y$，外加 $x$ 多出现一次。

  • 四种情况：00、01、10、11（以下x，y表示某一位为1或0）

    • $x=0,y=0$：<=
    • $x=0,y=1$：<=
    • $x=1,y=0$：>
    • $x=1,y=1$：>

所以，对于 $>$ 的情况，将该位 $1$ 加上即可。

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < 31; i++) {
            int x = 0, y = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if(nums[j] & (1 << i)) x += 1;
            }
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                if(j & (1 << i)) y += 1;
            }
            if(x > y) res |= (1 << i);
        }
        return res;
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18

解三

• 快慢指针

$n+1$个数，$[1,n]$ 范围内。每个位置 $i$ 连边 $i-$>$nums[i]$。

3 1 3 4 2
0 1 2 3 4

建边：0->3, 1->1, 2->3, 3->4, 4->2

明显重复的 $3$ 是环的入口。

又点 $0$ 只可能有出边，不可能自环。所以定义快慢指针 $l,r$ 都从 $0$ 开始。

然后就是环形链表找入口的常规解法：

• 慢一步、快二步
• 慢置为 $0$
• 慢一步、快一步

class Solution {
public:
    int findDuplicate(vector<int>& nums) {
        int l = 0, r = 0;
        do {
            l = nums[l];
            r = nums[nums[r]];
        } while(l != r);
        l = 0;
        while(l != r) {
            l = nums[l];
            r = nums[r];
        }
        return l;
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16