来自 2022阿里巴巴全球数学竞赛 第4题(单选题)
在概率论和统计学中,数学期望(mathematic expectation)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一。
在这道题中,数学期望就是平均需要抽多少张卡才能集齐。
假如胖虎想赢一把就睡觉,赢的概率是1/10的话,需要的次数及其概率的关系,是几何分布的(前面都失败,最后一次成功,就是几何分布),概率平均值10就是胖虎平均需要的次数。(10场最后一场赢了,这种情况概率约为0.04,但是却是整个概率图的平均概率,对应的10就是平均次数了)
满足几何分布的问题,从计算上会有个简单的公式——期望就是概率的倒数。
胖虎10%的成功概率,期望当然就是10。
数学期望 = 1(第一次抽到任意卡)+ 3/2(第二次抽到不重复的卡)+ 3(第三次抽到不重复的卡) = 5.5
也是数学期望相乘
数学推导后就算出了期望:568(平均需要买568包)
可以看到,n越大,数学期望就越大。
出现了“重复”的情况。
此题可以用蒙特卡罗方法求解
蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术,是一种随机模拟方法,以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法,是使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系,用电子计算机实现统计模拟或抽样,以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征,故借用赌城蒙特卡罗命名。
算法如下:(就是很多次模拟,每一次都循环抽卡直到抽到虎虎生威为止,记录次数,最终算平均次数)
考虑到时间问题,需要更加科学的方法求解。
我们进行分类讨论。
需要抽到四张卡,所以我们将各种集齐卡片的情况分类出来,每种情况都会有四轮,到哪一轮就代表抽到了第几张卡,计算需要的次数(也就是这一轮的期望)。
第一轮期望 | 第二轮期望 | 第三轮期望 | 第四轮期望 | |
---|---|---|---|---|
第一轮抽到虎 | 1(虎) | 1(随意) | 3/2 | 3 |
第一轮抽到生,第二轮抽到虎 | 1(生) | 1(虎) | 3/2 | 3 |
第一轮抽到生,第二轮抽到威 | 1(生) | 1(威) | 3 | 3 |
第一轮抽到生,第二轮抽到生 | 1(生) | 1(生) | / | / |
第一轮抽到威,第二轮抽到虎 | 1(威) | 1(虎) | 3/2 | 3 |
第一轮抽到威,第二轮抽到威 | 1(威) | 1(威) | / | / |
第一轮抽到威,第二轮抽到生 | 1(威) | 1(生) | 3 | 3 |
表中,第一轮和第二轮都为1的原因,就是因为情况被分出来了,抽到哪个是被我们确定了,所以概率为1,期望为1。
/ 代表此情况特殊,因为抽到生相当于回到了原点。
看似无法算下去,其实我们只要将第一轮抽到生和第二轮抽到生的情况都设为x,那么就能够算出x的数学期望是多少。
x(第一轮抽到生) = 1/3(第二轮抽到虎) * 9/2 + 1/3(第二轮抽到威) * 6 + 1/3 * x(第二轮抽到生)+ 1(第二轮的一次)
注:其实也可以理解为:
x(第一轮抽到生) = 1/3(第二轮抽到虎) * 11/2 + 1/3(第二轮抽到威) * 7 + 1/3 * (x+1)(第二轮抽到生)
最终得到x是27/4
同理,也可以得到第一次抽中威的情况也是27/4
那么表格变为:
最终数学期望就是三种情况相乘,等于7.333。