高等数学（第七版）同济大学 习题2-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题2-1

 

$\begin{array}{rlr}& 1.设物体绕定轴旋转，在时间间隔[0,t]上转过角度\theta ，从而转角\theta 是t的函数：\theta =\theta (t)，& \\ & & \\ & 如果旋转是匀速的，那么称\omega =\frac{\theta }{t}为该物体旋转的角速度。如果旋转是非匀速的，& \\ & & \\ & 应怎样确定该物体在时刻t_0的角速度？& \end{array}$

解：

   取 时 间 变 化 量 Δ t 为 t 0 到 某 一 时 刻 的 变 化 ， 则 物 体 在 时 间 间 隔 [ t 0 ,   t 0 + Δ t ] 上 的 平 均 角 速 度 ω ‾ = Δ θ Δ t = θ ( t 0 + Δ t ) − θ ( t 0 ) Δ t ，    该 物 体 在 时 刻 t 0 的 角 速 度 为 ω = lim ⁡ Δ t → 0 ω ‾ = lim ⁡ Δ t → 0 Δ θ Δ t = θ ′ ( t 0 )   取时间变化量Δt为t0到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t0, t0+Δt]上的平均角速度¯ω=ΔθΔt=θ(t0+Δt)−θ(t0)Δt，  该物体在时刻t0的角速度为ω=limΔt→0¯ω=limΔt→0ΔθΔt=θ′(t0)

​  取时间变化量Δt为t0​到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t0​, t0​+Δt]上的平均角速度ω=ΔtΔθ​=Δtθ(t0​+Δt)−θ(t0​)​，  该物体在时刻t0​的角速度为ω=Δt→0lim​ω=Δt→0lim​ΔtΔθ​=θ′(t0​)​​

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$\begin{array}{rlr}& 2.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却。若物体的温度T与时间t的函数关系为T=T(t)，& \\ & & \\ & 应怎样确定该物体在时刻t的冷却速度？& \end{array}$

解：

   取 时 间 变 化 量 Δ t 为 t 到 某 一 时 刻 的 变 化 ， 则 物 体 在 时 间 间 隔 [ t ,   t + Δ t ] 上 的 平 均 冷 却 速 度 v ‾ = Δ T Δ t = T ( t + Δ t ) − T ( t ) Δ t .    物 体 在 时 刻 t 的 冷 却 速 度 v = lim ⁡ Δ t → 0 Δ T Δ t = lim ⁡ Δ t → 0 T ( t + Δ t ) − T ( t ) Δ t = T ′ ( t ) .   取时间变化量Δt为t到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t, t+Δt]上的平均冷却速度¯v=ΔTΔt=T(t+Δt)−T(t)Δt.  物体在时刻t的冷却速度v=limΔt→0ΔTΔt=limΔt→0T(t+Δt)−T(t)Δt=T′(t).

​  取时间变化量Δt为t到某一时刻的变化，则物体在时间间隔[t, t+Δt]上的平均冷却速度v=ΔtΔT​=ΔtT(t+Δt)−T(t)​.  物体在时刻t的冷却速度v=Δt→0lim​ΔtΔT​=Δt→0lim​ΔtT(t+Δt)−T(t)​=T′(t).​​

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$\begin{array}{rlr}& 3.设某工厂生产x件产品的成本为C(x)=2000+100x-0.1x^2(元)，这函数C(x)称为成本函数，& \\ & & \\ & 成本函数C(x)的导数C^{\prime }(x)在经济学中称为边际成本，试求& \end{array}$

   ( 1 )    当 生 产 100 件 产 品 时 的 边 际 成 本 ；    ( 2 )    生 产 第 101 件 产 品 的 成 本 ， 并 与 ( 1 ) 中 求 得 的 边 际 成 本 作 比 较 ， 说 明 边 际 成 本 的 实 际 意 义 .   (1)  当生产100件产品时的边际成本；  (2)  生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.

​  (1)  当生产100件产品时的边际成本；  (2)  生产第101件产品的成本，并与(1)中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.​​

解：

   ( 1 )   因 为 成 本 函 数 C ( x ) = 2000 + 100 x − 0.1 x 2 ， 边 际 成 本 为 成 本 函 数 的 导 数 ， 即 C ′ ( x ) = 100 − 0.2 x ，          所 以 当 生 产 100 件 产 品 时 的 边 际 成 本 为 C ′ ( 100 ) = 100 − 0.2 × 100 = 80 。    ( 2 )   C ( 100 ) = 2000 + 100 × 100 − 0.1 × 10 0 2 = 11000          C ( 101 ) = 2000 + 100 × 101 − 0.1 × 10 1 2 = 11079.9          C ( 101 ) − C ( 100 ) = 79.9 ， 生 产 第 101 件 产 品 的 成 本 为 79.9 ， 与 ( 1 ) 中 求 得 的 边 际 成 本 比 较 ，          可 以 看 出 边 际 成 本 C ′ ( x ) 的 实 际 意 义 时 近 似 表 达 产 量 达 到 x 单 位 时 再 增 加 一 个 单 位 产 品 所 需 的 成 本 。   (1) 因为成本函数C(x)=2000+100x−0.1x2，边际成本为成本函数的导数，即C′(x)=100−0.2x，        所以当生产100件产品时的边际成本为C′(100)=100−0.2×100=80。  (2) C(100)=2000+100×100−0.1×1002=11000        C(101)=2000+100×101−0.1×1012=11079.9        C(101)−C(100)=79.9，生产第101件产品的成本为79.9，与(1)中求得的边际成本比较，        可以看出边际成本C′(x)的实际意义时近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本。

​  (1) 因为成本函数C(x)=2000+100x−0.1x2，边际成本为成本函数的导数，即C′(x)=100−0.2x，        所以当生产100件产品时的边际成本为C′(100)=100−0.2×100=80。  (2) C(100)=2000+100×100−0.1×1002=11000        C(101)=2000+100×101−0.1×1012=11079.9        C(101)−C(100)=79.9，生产第101件产品的成本为79.9，与(1)中求得的边际成本比较，        可以看出边际成本C′(x)的实际意义时近似表达产量达到x单位时再增加一个单位产品所需的成本。​​

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$\begin{array}{rlr}& 4.设f(x)=10x^2，试按定义求f^{\prime }(-1).& \end{array}$

解：

   f ′ ( x ) = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 10 ( x + Δ x ) 2 − 10 x 2 Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 10 Δ x 2 + 20 x Δ x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 ( 10 Δ x + 20 x ) = 20 x ，    所 以 f ′ ( − 1 ) = − 20 。   f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx=limΔx→010(x+Δx)2−10x2Δx=limΔx→010Δx2+20xΔxΔx=limΔx→0(10Δx+20x)=20x，  所以f′(−1)=−20。

​  f′(x)=Δx→0lim​Δxf(x+Δx)−f(x)​=Δx→0lim​Δx10(x+Δx)2−10x2​=Δx→0lim​Δx10Δx2+20xΔx​=Δx→0lim​(10Δx+20x)=20x，  所以f′(−1)=−20。​​

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$\begin{array}{rlr}& 5.证明(cosx{)}^{\prime }=-sinx& \end{array}$

解：

   ( c o s   x ) ′ = lim ⁡ Δ x → 0 c o s   ( x + Δ x ) − c o s   x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 c o s   x c o s   Δ x − s i n   x s i n   Δ x − c o s   x Δ x =    lim ⁡ Δ x → 0 ( c o s   x c o s   Δ x − 1 Δ x − s i n   x s i n   Δ x Δ x ) = − s i n   x   (cos x)′=limΔx→0cos (x+Δx)−cos xΔx=limΔx→0cos xcos Δx−sin xsin Δx−cos xΔx=  limΔx→0(cos xcos Δx−1Δx−sin xsin ΔxΔx)=−sin x

​  (cos x)′=Δx→0lim​Δxcos (x+Δx)−cos x​=Δx→0lim​Δxcos xcos Δx−sin xsin Δx−cos x​=  Δx→0lim​(cos xΔxcos Δx−1​−sin xΔxsin Δx​)=−sin x​​

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$\begin{array}{rlr}& 6.下列各题中均假定f^{\prime }(x_0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A表示什么：& \end{array}$

   ( 1 )    lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 − Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = A ；    ( 2 )    lim ⁡ x → 0 f ( x ) x = A ， 其 中 f ( 0 ) = 0 ， 且 f ′ ( 0 ) 存 在 ；    ( 3 )    lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) h = A   (1)  limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)Δx=A；  (2)  limx→0f(x)x=A，其中f(0)=0，且f′(0)存在；  (3)  limh→0f(x0+h)−f(x0−h)h=A

​  (1)  Δx→0lim​Δxf(x0​−Δx)−f(x0​)​=A；  (2)  x→0lim​xf(x)​=A，其中f(0)=0，且f′(0)存在；  (3)  h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​−h)​=A​​

解：

   ( 1 )   lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 − Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = − lim ⁡ − Δ x → 0 f ( x 0 ) + ( − Δ x ) ) − f ( x 0 ) − Δ x = − f ′ ( x 0 ) = A    ( 2 )   因 为 f ( 0 ) = 0 ， lim ⁡ x → 0 f ( x ) x = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = f ′ ( 0 )    ( 3 )   lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) h = lim ⁡ h → 0 [ f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h − f ( x 0 ) − h ) − f ( x 0 ) h ] =          lim ⁡ h → 0 f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h + lim ⁡ − h → 0 f ( x 0 + ( − h ) ) − f ( x 0 ) − h = 2 f ′ ( x 0 )   (1) limΔx→0f(x0−Δx)−f(x0)Δx=−lim−Δx→0f(x0)+(−Δx))−f(x0)−Δx=−f′(x0)=A  (2) 因为f(0)=0，limx→0f(x)x=limx→0f(x)−f(0)x−0=f′(0)  (3) limh→0f(x0+h)−f(x0−h)h=limh→0[f(x0+h)−f(x0)h−f(x0)−h)−f(x0)h]=        limh→0f(x0+h)−f(x0)h+lim−h→0f(x0+(−h))−f(x0)−h=2f′(x0)

​  (1) Δx→0lim​Δxf(x0​−Δx)−f(x0​)​=−−Δx→0lim​−Δxf(x0​)+(−Δx))−f(x0​)​=−f′(x0​)=A  (2) 因为f(0)=0，x→0lim​xf(x)​=x→0lim​x−0f(x)−f(0)​=f′(0)  (3) h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​−h)​=h→0lim​[hf(x0​+h)−f(x0​)​−hf(x0​)−h)−f(x0​)​]=        h→0lim​hf(x0​+h)−f(x0​)​+−h→0lim​−hf(x0​+(−h))−f(x0​)​=2f′(x0​)​​

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$\begin{array}{rlr}& 7.设f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{2}{3}{x}^3，x\le 1，\\ \\ x^2，x>1，则f(x)在x=1处的()\end{array}& \end{array}$

   ( A )    左 、 右 导 数 都 存 在                          ( B )    左 导 数 存 在 ， 右 导 数 不 存 在    ( C )    左 导 数 不 存 在 ， 右 导 数 存 在          ( D )    左 、 右 导 数 都 不 存 在   (A)  左、右导数都存在                        (B)  左导数存在，右导数不存在  (C)  左导数不存在，右导数存在        (D)  左、右导数都不存在

​  (A)  左、右导数都存在                        (B)  左导数存在，右导数不存在  (C)  左导数不存在，右导数存在        (D)  左、右导数都不存在​​

解：

   f − ′ ( 1 ) = lim ⁡ x → 1 − f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = lim ⁡ x → 1 − 2 3 x 3 − 2 3 x − 1 = 2 3 lim ⁡ x → 1 − x 3 − 1 x − 1 = 2 3 lim ⁡ x → 1 − ( x 2 + x + 1 ) = 2 ；    f + ′ ( 1 ) = lim ⁡ x → 1 + f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = lim ⁡ x → 1 + x 2 − 2 3 x − 1 = ∞    函 数 左 导 数 存 在 ， 右 导 数 不 存 在 ， 选 B 。   f′−(1)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−23x3−23x−1=23limx→1−x3−1x−1=23limx→1−(x2+x+1)=2；  f′+(1)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+x2−23x−1=∞  函数左导数存在，右导数不存在，选B。

​  f−′​(1)=x→1−lim​x−1f(x)−f(1)​=x→1−lim​x−132​x3−32​​=32​x→1−lim​x−1x3−1​=32​x→1−lim​(x2+x+1)=2；  f+′​(1)=x→1+lim​x−1f(x)−f(1)​=x→1+lim​x−1x2−32​​=∞  函数左导数存在，右导数不存在，选B。​​

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$\begin{array}{rlr}& 8.设f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的()& \end{array}$

   ( A )    充 分 必 要 条 件                          ( B )    充 分 条 件 但 非 必 要 条 件    ( C )    必 要 条 件 但 非 充 分 条 件          ( D )    既 非 充 分 条 件 又 非 必 要 条 件   (A)  充分必要条件                        (B)  充分条件但非必要条件  (C)  必要条件但非充分条件        (D)  既非充分条件又非必要条件

​  (A)  充分必要条件                        (B)  充分条件但非必要条件  (C)  必要条件但非充分条件        (D)  既非充分条件又非必要条件​​

解：

   F + ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + F ( x ) − F ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) ( 1 + s i n   x ) − f ( 0 ) x = lim ⁡ x → 0 + [ f ( x ) − f ( 0 ) x + f ( x ) s i n   x x ] = f ′ ( 0 ) + f ( 0 ) ，    F − ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 − F ( x ) − F ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 − f ( x ) ( 1 − s i n   x ) − f ( 0 ) x = lim ⁡ x → 0 − [ f ( x ) − f ( 0 ) x − f ( x ) s i n   x x ] = f ′ ( 0 ) − f ( 0 ) .    当 f ( 0 ) = 0 时 ， F + ′ ( 0 ) = F − ′ ( 0 ) ， 当 F + ′ ( 0 ) = F − ′ ( 0 ) 时 ， f ( 0 ) = 0 ， 所 以 是 充 分 必 要 条 件 ， 选 A   F′+(0)=limx→0+F(x)−F(0)x−0=limx→0+f(x)(1+sin x)−f(0)x=limx→0+[f(x)−f(0)x+f(x)sin xx]=f′(0)+f(0)，  F′−(0)=limx→0−F(x)−F(0)x−0=limx→0−f(x)(1−sin x)−f(0)x=limx→0−[f(x)−f(0)x−f(x)sin xx]=f′(0)−f(0).  当f(0)=0时，F′+(0)=F′−(0)，当F′+(0)=F′−(0)时，f(0)=0，所以是充分必要条件，选A

​  F+′​(0)=x→0+lim​x−0F(x)−F(0)​=x→0+lim​xf(x)(1+sin x)−f(0)​=x→0+lim​[xf(x)−f(0)​+f(x)xsin x​]=f′(0)+f(0)，  F−′​(0)=x→0−lim​x−0F(x)−F(0)​=x→0−lim​xf(x)(1−sin x)−f(0)​=x→0−lim​[xf(x)−f(0)​−f(x)xsin x​]=f′(0)−f(0).  当f(0)=0时，F+′​(0)=F−′​(0)，当F+′​(0)=F−′​(0)时，f(0)=0，所以是充分必要条件，选A​​

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$\begin{array}{rlr}& 9.求下列函数的导数：& \end{array}$

   ( 1 )    y = x 4 ；                     ( 2 )    y = x 2 3 ；                      ( 3 )    y = x 1.6 ；    ( 4 )    y = 1 x ；                  ( 5 )    y = 1 x 2 ；                         ( 6 )    y = x 3 x 5 ；    ( 7 )    y = x 2 x 2 3 x 5   (1)  y=x4；                   (2)  y=3√x2；                    (3)  y=x1.6；  (4)  y=1√x；                (5)  y=1x2；                       (6)  y=x35√x；  (7)  y=x23√x2√x5

​  (1)  y=x4；                   (2)  y=3x2 ​；                    (3)  y=x1.6；  (4)  y=x ​1​；                (5)  y=x21​；                       (6)  y=x35x ​；  (7)  y=x5 ​x23x2 ​​​​

解：

   ( 1 )   y ′ = 4 x 3    ( 2 )   y = x 2 3 ， y ′ = 2 3 x − 1 3    ( 3 )   y = x 8 5 ， y ′ = 8 5 x 3 5    ( 4 )   y = x − 1 2 ， y ′ = − 1 2 x − 3 2    ( 5 )   y = x − 2 ， y ′ = − 2 x − 3    ( 6 )   y = x 16 5 ， y ′ = 16 5 x 11 5    ( 7 )   y = x 8 3 x 5 2 = x 1 6 ， y ′ = 1 6 x − 5 6   (1) y′=4x3  (2) y=x23，y′=23x−13  (3) y=x85，y′=85x35  (4) y=x−12，y′=−12x−32  (5) y=x−2，y′=−2x−3  (6) y=x165，y′=165x115  (7) y=x83x52=x16，y′=16x−56

​  (1) y′=4x3  (2) y=x32​，y′=32​x−31​  (3) y=x58​，y′=58​x53​  (4) y=x−21​，y′=−21​x−23​  (5) y=x−2，y′=−2x−3  (6) y=x516​，y′=516​x511​  (7) y=x25​x38​​=x61​，y′=61​x−65​​​

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$\begin{array}{rlr}& 10.已知物体的运动规律为s=t^{3}m，求这物体在t=2s时的速度。& \end{array}$

解：

   v = d s d t = 3 t 2 ， v ∣ t = 2 = 12   v=dsdt=3t2，v|t=2=12

​  v=dtds​=3t2，v∣t=2​=12​​

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$\begin{array}{rlr}& 11.如果f(x)为偶函数，且f^{\prime }(0)存在，证明f^{\prime }(0)=0.& \end{array}$

解：

   f ( x ) 为 偶 函 数 ， 有 f ( − x ) = f ( x ) ， f ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 f ( − x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ − x → 0 f ( − x ) − f ( 0 ) − x − 0 = − f ′ ( 0 ) ，    所 以 f ′ ( 0 ) = 0   f(x)为偶函数，有f(−x)=f(x)，f′(0)=limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0f(−x)−f(0)x−0=lim−x→0f(−x)−f(0)−x−0=−f′(0)，  所以f′(0)=0

​  f(x)为偶函数，有f(−x)=f(x)，f′(0)=x→0lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0lim​x−0f(−x)−f(0)​=−x→0lim​−x−0f(−x)−f(0)​=−f′(0)，  所以f′(0)=0​​

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$\begin{array}{rlr}& 12.求曲线y=sinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率：x=\frac{2}{3}\pi ，x=\pi .& \end{array}$

解：

   x = 2 3 π 时 ， 斜 率 k = y ′ ∣ x = 2 3 π = c o s   x ∣ x = 2 3 π = − 1 2    x = π 时 ， 斜 率 k = y ′ ∣ x = π = c o s   x ∣ x = π = − 1   x=23π时，斜率k=y′|x=23π=cos x|x=23π=−12  x=π时，斜率k=y′|x=π=cos x|x=π=−1

​  x=32​π时，斜率k=y′∣x=32​π​=cos x∣x=32​π​=−21​  x=π时，斜率k=y′∣x=π​=cos x∣x=π​=−1​​

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$\begin{array}{rlr}& 13.求曲线y=cosx上点\left(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2}\right)处的切线方程和法线方程。& \end{array}$

解：

   y ′ ∣ x = π 3 = − s i n   x ∣ x = π 3 = − 3 2 ， 切 线 方 程 为 y − 1 2 = − 3 2 ( x − π 3 ) ， 3 2 x + y − 1 2 ( 1 + 3 3 π ) = 0 。    法 线 方 程 为 y − 1 2 = 2 3 ( x − π 3 ) ， 2 3 3 x − y + 1 2 − 2 3 9 π = 0.   y′|x=π3=−sin x|x=π3=−√32，切线方程为y−12=−√32(x−π3)，√32x+y−12(1+√33π)=0。  法线方程为y−12=2√3(x−π3)，2√33x−y+12−2√39π=0.

​  y′∣x=3π​​=−sin x∣x=3π​​=−23 ​​，切线方程为y−21​=−23 ​​(x−3π​)，23 ​​x+y−21​(1+33 ​​π)=0。  法线方程为y−21​=3 ​2​(x−3π​)，323 ​​x−y+21​−923 ​​π=0.​​

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$\begin{array}{rlr}& 14.求曲线y=e^x在点(0,1)处的切线方程。& \end{array}$

解：

   y ′ ∣ x = 0 = e x ∣ x = 0 = 1 ， 切 线 方 程 为 y − 1 = x − 0 ， x − y + 1 = 0 。   y′|x=0=ex|x=0=1，切线方程为y−1=x−0，x−y+1=0。

​  y′∣x=0​=ex∣x=0​=1，切线方程为y−1=x−0，x−y+1=0。​​

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$\begin{array}{rlr}& 15.在抛物线y=x^2上取横坐标为x_1=1及x_2=3的两点，作过这两点的割线。& \\ & & \\ & 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？& \end{array}$

解：

   割 线 斜 率 k = y 2 − y 1 x 2 − x 1 = 3 2 − 1 2 3 − 1 = 4 。 假 设 抛 物 线 上 点 ( x 0 , y 0 ) 处 的 切 线 平 行 于 该 割 线 ，    y 0 = x 0 2 ， y 0 ′ = 2 x 0 = 4 ， x 0 = 2 ， y 0 = 4 ， 得 抛 物 线 上 点 ( 2 ,   4 ) 平 行 于 割 线 。   割线斜率k=y2−y1x2−x1=32−123−1=4。假设抛物线上点(x0,y0)处的切线平行于该割线，  y0=x20，y′0=2x0=4，x0=2，y0=4，得抛物线上点(2, 4)平行于割线。

​  割线斜率k=x2​−x1​y2​−y1​​=3−132−12​=4。假设抛物线上点(x0​,y0​)处的切线平行于该割线，  y0​=x02​，y0′​=2x0​=4，x0​=2，y0​=4，得抛物线上点(2, 4)平行于割线。​​

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$\begin{array}{rlr}& 16.讨论下列函数在x=0处的连续性与可导性：& \end{array}$

   ( 1 )    y = ∣ s i n   x ∣ ；    ( 2 )    y = { x 2 s i n   1 x ， x ≠ 0 ， 0 ，             x = 0.   (1)  y=|sin x|；  (2)  y={x2sin 1x，x≠0，0，           x=0.

​  (1)  y=∣sin x∣；  (2)  y=⎩⎪⎨⎪⎧​x2sin x1​，x​=0，0，           x=0.​​​

解：

   ( 1 )   lim ⁡ x → 0 f ( x ) = lim ⁡ x → 0 ∣ s i n   x ∣ = 0 = f ( 0 ) ， 所 以 y = ∣ s i n   x ∣ 在 x = 0 处 连 续 。          f − ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 − − s i n   x x = − 1 ， f + ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 + s i n   x x = 1 ，          f − ′ ( 0 ) ≠ f + ′ ( 0 ) ， 所 以 y = ∣ s i n   x ∣ 在 x = 0 处 不 可 导 。    ( 2 )   lim ⁡ x → 0 f ( x ) = lim ⁡ x → 0 x 2 s i n   1 x = 0 = f ( 0 ) ， 所 以 函 数 在 x = 0 处 连 续 。          f ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 x 2 s i n   1 x x = lim ⁡ x → 0 x s i n   1 x = 0 ， 所 以 函 数 在 x = 0 处 可 导 。   (1) limx→0f(x)=limx→0|sin x|=0=f(0)，所以y=|sin x|在x=0处连续。        f′−(0)=limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−−sin xx=−1，f′+(0)=limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+sin xx=1，        f′−(0)≠f′+(0)，所以y=|sin x|在x=0处不可导。  (2) limx→0f(x)=limx→0x2sin 1x=0=f(0)，所以函数在x=0处连续。        f′(0)=limx→0f(x)−f(0)x−0=limx→0x2sin 1xx=limx→0xsin 1x=0，所以函数在x=0处可导。

​  (1) x→0lim​f(x)=x→0lim​∣sin x∣=0=f(0)，所以y=∣sin x∣在x=0处连续。        f−′​(0)=x→0−lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0−lim​x−sin x​=−1，f+′​(0)=x→0+lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0+lim​xsin x​=1，        f−′​(0)​=f+′​(0)，所以y=∣sin x∣在x=0处不可导。  (2) x→0lim​f(x)=x→0lim​x2sin x1​=0=f(0)，所以函数在x=0处连续。        f′(0)=x→0lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0lim​xx2sin x1​​=x→0lim​xsin x1​=0，所以函数在x=0处可导。​​

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$\begin{array}{rlr}& 17.设函数f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2，x\le 1，\\ \\ ax+b，x>1.\end{array}为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a、b应取什么值？& \end{array}$

解：

   要 使 函 数 f ( x ) 在 x = 1 处 连 续 ， 应 有 lim ⁡ x → 1 − f ( x ) = lim ⁡ x → 1 + f ( x ) = f ( 1 ) ， 即 a + b = 1 。    要 是 函 数 f ( x ) 在 x = 1 处 可 导 ， 应 有 f − ′ ( 1 ) = f + ′ ( 1 ) .    f − ′ ( 1 ) = lim ⁡ x → 1 − f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = lim ⁡ x → 1 − x 2 − 1 x − 1 − 2 ， f + ′ ( 1 ) = lim ⁡ x → 1 + f ( x ) − f ( 1 ) x − 1 = lim ⁡ x → 1 + a x + b − 1 x − 1 =    lim ⁡ x → 1 + a ( x − 1 ) + a + b − 1 x − 1 = lim ⁡ x → 1 + a ( x − 1 ) x − 1 = a ， 得 a = 2 ， b = − 1 。   要使函数f(x)在x=1处连续，应有limx→1−f(x)=limx→1+f(x)=f(1)，即a+b=1。  要是函数f(x)在x=1处可导，应有f′−(1)=f′+(1).  f′−(1)=limx→1−f(x)−f(1)x−1=limx→1−x2−1x−1−2，f′+(1)=limx→1+f(x)−f(1)x−1=limx→1+ax+b−1x−1=  limx→1+a(x−1)+a+b−1x−1=limx→1+a(x−1)x−1=a，得a=2，b=−1。

​  要使函数f(x)在x=1处连续，应有x→1−lim​f(x)=x→1+lim​f(x)=f(1)，即a+b=1。  要是函数f(x)在x=1处可导，应有f−′​(1)=f+′​(1).  f−′​(1)=x→1−lim​x−1f(x)−f(1)​=x→1−lim​x−1x2−1​−2，f+′​(1)=x→1+lim​x−1f(x)−f(1)​=x→1+lim​x−1ax+b−1​=  x→1+lim​x−1a(x−1)+a+b−1​=x→1+lim​x−1a(x−1)​=a，得a=2，b=−1。​​

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$\begin{array}{rlr}& 18.已知f(x)=\{\begin{array}{l}-x，x<0，\\ \\ x^2，x\ge 0，\end{array}求f_{+}^{\prime }(0)及f_{-}^{\prime }(0)，又f^{\prime }(0)是否存在？& \end{array}$

解：

   f − ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 − − x − 0 x = − 1 ，    f + ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 + x 2 − 0 x = 0 。 因 为 f − ′ ( 0 ) ≠ f + ′ ( 0 ) ， 所 以 f ′ ( 0 ) 不 存 在 。   f′−(0)=limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−−x−0x=−1，  f′+(0)=limx→0+f(x)−f(0)x−0=limx→0+x2−0x=0。因为f′−(0)≠f′+(0)，所以f′(0)不存在。

​  f−′​(0)=x→0−lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0−lim​x−x−0​=−1，  f+′​(0)=x→0+lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0+lim​xx2−0​=0。因为f−′​(0)​=f+′​(0)，所以f′(0)不存在。​​

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$\begin{array}{rlr}& 19.已知f(x)=\{\begin{array}{l}sinx，x<0，\\ \\ x，x\ge 0，\end{array}求f^{\prime }(x).& \end{array}$

解：

   f − ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 − f ( x ) − f ( 0 ) x − 0 = lim ⁡ x → 0 − s i n   x x = 1 ，    f + ′ ( 0 ) = lim ⁡ x → 0 + f ( x ) − f ( 0 ) x − 1 = lim ⁡ x → 0 + x x = 1 。    因 为 f − ′ ( 0 ) = f + ′ ( 0 ) = 1 ， 所 以 f ′ ( 0 ) = 1 ， f ′ ( x ) = { c o s   x ， x < 0 ， 1 ，         x ≥ 0.   f′−(0)=limx→0−f(x)−f(0)x−0=limx→0−sin xx=1，  f′+(0)=limx→0+f(x)−f(0)x−1=limx→0+xx=1。  因为f′−(0)=f′+(0)=1，所以f′(0)=1，f′(x)={cos x，x<0，1，       x≥0.

​  f−′​(0)=x→0−lim​x−0f(x)−f(0)​=x→0−lim​xsin x​=1，  f+′​(0)=x→0+lim​x−1f(x)−f(0)​=x→0+lim​xx​=1。  因为f−′​(0)=f+′​(0)=1，所以f′(0)=1，f′(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​cos x，x<0，1，       x≥0.​​​

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$\begin{array}{rlr}& 20.证明：双曲线xy=a^2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a^2。& \end{array}$

解：

   设 点 ( x 0 ,   y 0 ) 为 双 曲 线 x y = a 2 上 任 一 点 ， y = a 2 x ， 该 点 的 切 线 斜 率 k = y ′ = ( a 2 x ) ′ ∣ x = x 0 = − a 2 x 0 2 ，    切 线 方 程 为 y − y 0 = − a 2 x 0 2 ( x − x 0 ) ， x x 0 + y y 0 = 2 ， 切 线 与 两 坐 标 轴 构 成 的 三 角 形 面 积 S = 1 2 ∣ 2 x 0 ∣   ∣ 2 y 0 ∣ = 2 a 2 。   设点(x0, y0)为双曲线xy=a2上任一点，y=a2x，该点的切线斜率k=y′=(a2x)′|x=x0=−a2x20，  切线方程为y−y0=−a2x20(x−x0)，xx0+yy0=2，切线与两坐标轴构成的三角形面积S=12|2x0| |2y0|=2a2。

​  设点(x0​, y0​)为双曲线xy=a2上任一点，y=xa2​，该点的切线斜率k=y′=(xa2​)′∣∣∣∣​x=x0​​=−x02​a2​，  切线方程为y−y0​=−x02​a2​(x−x0​)，x0​x​+y0​y​=2，切线与两坐标轴构成的三角形面积S=21​∣2x0​∣ ∣2y0​∣=2a2。​​