群介绍

正方形的对称性

考虑这样一个问题，以某些方式移动一个正方形，最终使这个正方形与初始对比看不出变化，为实现这个目的，我们对正方形可以做哪些净作用(net effect)？
很明显，我们可以总结出八种移动方式：

• $R_0$，绕中心旋转$0$度
• $R_{90}$，绕中心旋转$90$度
• $R_{180}$，绕中心旋转$180$度
• $R_{270}$，绕中心旋转$270$度
• $H$，沿水平对称轴翻转
• $V$，沿垂直对称轴翻转
• $D$，沿主对角线翻转
• $D^{\prime }$，沿次对角线翻转

仔细思考可以发现，这$8$种运动中，某些运动可以看作其他运动的依次作用的结果，如$D=H{R}_{90}$，先逆时针旋转90度，再水平翻转，等价于沿主对角线翻转。
我们将这$8$种运动以及所有他们的复合的集合，构成一种新的数学结构，叫做$8$阶二面体群(dihedral group of order 8)，记为：$D_4$

接下来可以以$D_4$群为例，观察一下群的性质。

1. 观察一下群元素复合的结果，发现所有复合的结构仍属于那$8$种运动，代数上来说，就是这个群存在这样的性质，$A,B\in D_4\to AB\in D_4$，这叫做封闭性。
2. 可以注意到，任何运动$M$以任何先后顺序与$R_0$复合，结果都是$M$，即$M{R}_0=R_{0}M=M$，即对于复合这种运算，群里存在单位元。
3. 对任何元素$A\in D_4$，总存在$B\in D_4$，使得$AB=R_0$，可画出Cayley表验证，这个性质叫做逆元存在。
4. 注意到，让群中所有元素，与一个固定的元素复合，结果集合也会包含所有群元素。
5. 注意到，有些复合顺序反过来也相等，而有些不相等，如$R_{90}{R}_{180}=R_{180}{R}_{90},HD\ne DH$
6. 有种不显眼的性质，即结合律，这个怎么验证呢？实际上将群操作看作一个函数，函数满足结合律，那群元也满足

二面体群

相同的分析也可以作用于正三角形，正五边形等，我们将正多边形的对称群归纳为二面体群，具体的$D_n$叫做dihedral group of order $2n$，表示正$n$边（角）形的对称性。

群定义和性质

二元操作

Let $G$ be a set. A binary operation on $G$ is a function that assigns each ordered pair of elements of $G$ an element of $G$.

这个定义给出了一个函数$f:G\times G\to G$，实际上是定义了一种封闭的乘法。

群定义

Let $G$ be a set together with a binary operation (multiplication) that assigns to each ordered pair $(a,b)$ of elements of $G$ an element in $G$ denoted by $ab$. We say $G$ is a group under this operation if the following three properties are satisfied.

• Associativity. 结合律
• Identity. 单元元
• Inverses. 逆元

简而言之，群就是一个定义了封闭乘法的集合，且满足结合律，单位元和逆元存在性。

例子

• 整数、有理数、实数加法群
• { 1 , − 1 , i , − i } \{1,-1,i,-i\} {1,−1,i,−i}在复数乘法下构成群
• 正有理数乘法群
• 同阶矩阵加法群
• 模$n$加法群： Z n = { 0 , 1 , . . . , n − 1 } Z_n=\{0,1,...,n-1\} Zn​={0,1,...,n−1}
• 非零实数乘法群
• 一般线性群：$GL(n,R)$，其实是实$n$阶可逆矩阵在矩阵乘法下构成的群
• 互质模$n$乘法群： U ( n ) = { i ∣ i < n   ∧   gcd ⁡ ( i , n ) = 1 } U(n)=\{i\mid i<n\ \land\ \gcd (i,n)=1\} U(n)={i∣i<n ∧ gcd(i,n)=1}，即与$n$互质的更小的数组成的群，在模$n$乘法下构成群。简单验证一下：
  首先封闭性，根据上一节的课后19题，如果$\gcd (a,n)=\gcd (b,n)=1,\forall a,b\in U(n)$，那么必有$\gcd (ab,n)=1$，那么$ab\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$必然与$n$互质，只要用上节的Theorem 0.1拆开，并用Theorem 0.2验证即可。
  然后，单位元必然是$1$
  最后，$\forall a\in U(n)$，逆元存在吗？即可否找到$a^{\prime }\in U(n),\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{t}a{a}^{\prime }\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=1$，由于$as+nt=1$，显然$s\ne 0$，如果$s>0$，$s$即是$a^{\prime }$；如果$s<0$，那么$a^{\prime }=n+s$，因为$(n+s)a+n(t-a)=1$，故逆元存在
• 复数加法群，非零复数乘法群
• 单位复根在复数乘法下构成群： { e 2 k π n ∣ k = 0 , 1 , 2 , ⋯   , n − 1 } \{e^{\frac{2k\pi}{n}} |k=0,1,2,\cdots ,n-1\} {en2kπ​∣k=0,1,2,⋯,n−1}，它们是$x^n=1$的解
• 同纬向量在向量加法下构成群
• 特殊线性群：$SL(n,R)$，是行列式为1的矩阵在矩阵乘法下构成的群

群性质

Theorem 2.1 群单位元唯一

很明显，假定有两个单位元$e,e^{\prime }$，$e=e{e}^{\prime }=e^{\prime }$

Theorem 2.2 消去律

群满足左右消去律，即$ba=ca\to b=c,ab=ac\to b=c$

用逆元左乘或右乘即可。

Theorem 2.3 群逆元唯一

假设$b，c$都是$a$的逆，那么$e=ab=ac$，根据消去律$b=c$

一些简写

$a^{-1}$：$a$的逆
$a^n$：$n$个$a$相乘

Theorem 2.4 Socks-Shoes property

即取乘积的逆时，元素要翻转: $(ab{)}^{-1}=b^{-1}{a}^{-1}$

有限群和子群

常用记号和定义

阶

有两种：群的阶和元素的阶，对于群$G$，群元素$g$来说，两者分别记为$|G|$和$|g|$。群的阶指群元素的数量；元素的阶指的是满足$g^n=e$的最小正整数$n$（如果$g$的任何次幂都不等于$e$，那么说它的阶是无穷）。

子群

群$G$的子集$H$是它的子群，说的是$H$在$G$定义的二元操作下，构成一个群。记为$H\le G$。

子群检验方法

群的子集，自然带有群的一些特性，定义了二元操作，以及它们满足结合律是肯定的，所以判断子集是群可不必按照定义来一步步确认，只需要说明在群的二元操作下，满足：封闭性；逆元；单位元即可。以下有几种典型的方法。

Theorem 3.1 One-Step Subgroup Test

$G$是一个群，$H$是$G$的一个非空子集，如果：$\forall a,b\in H,a{b}^{-1}\in H$，那么$H\le G$

证明：因为$H$非空，集合至少存在一个元素，那么根据$a{b}^{-1}\in H$，$e\in H$；然后只要取$a=e$就能说明逆元必然存在；最后，由于逆元存在，封闭性也可得知。

Theorem 3.2 Two-Step Subgroup Test

$G$是一个群，$H$是$G$的一个非空子集，只需要满足封闭性，逆元存在，就可以保证$H\le G$

证明：除去已满足的所有条件，只剩下单位元这一条需要验证，这很容易说明，由于逆存在，$\forall a\in H,a^{-1}\in H$；又由于封闭性，$a{a}^{-1}=e\in H$

一个重要例子——一种子群生成方式

$G$是阿贝尔群，$H\le G,K\le G$，可得： H K = { h k ∣ h ∈ H , k ∈ K } HK=\{hk\mid h\in H, k\in K\} HK={hk∣h∈H,k∈K}也是$G$的子群。

分析：由于阿贝尔群的可交换特性，封闭性和逆元都很容易说明。

Theorem 3.3 Finite Subgroup Test

$H$是$G$的有限子集，如果$H$封闭，那么$H\le G$。

证明：相对于Theorem 3.2 我们多了一个条件：子集有限；少了一个条件：逆元。那么根据增加的条件证明逆元存在即可。对于$a\in H$，$a=e$的逆元肯定存在，就是它自身；如果$a\ne e$，构造一个序列 { a , a 2 , a 3 , ⋯   , a n } \{a,a^2,a^3,\cdots ,a^n\} {a,a2,a3,⋯,an}，由于子群的有限性，这一序列不可能无限增加下去，必然存在某个$a^n=a^k,k<n$，那么$a^{n-k}=1$，即$a^{-1}=a^{n-k-1}\in H$

这里给出一个记号： ⟨ a ⟩ = { a n ∣ n ∈ Z } \langle a\rangle=\{a^n\mid n\in Z\} ⟨a⟩={an∣n∈Z}

一些重要子群

Theorem 3.4 $⟨a⟩$是子群

根据$a{b}^{-1}\in H$（即Theorem 3.1）很容易验证。
这个子群是很常用的，对于$a\in G$，我们称$⟨a⟩$为：$G$由$a$生成的循环子群。如果$⟨a⟩=G$，我们称$G$为循环子群，且$a$是$G$的一个生成元。这个子群还有个特殊性质，可以考虑$⟨a⟩$是$G$的所有包含$a$的子群中最小的那个，因为根据封闭性，只要子群包含$a$，就必然包含$a$生成的所有元素。
这个生成的概念可以推广，对一个子集$S$，$⟨S⟩$是包含$S$的所有子群中最小的那个，叫做$S$生成的子群。

群的中心（Center of a Group）

定义为： Z ( G ) = { a ∈ G ∣ a x = x a   ∀ x ∈ G } Z(G)=\{a\in G\mid ax=xa\ \forall x\in G\} Z(G)={a∈G∣ax=xa ∀x∈G}，$Z(G)\le G$
这个子群的含义是，所有可与所有群元素交换的群元素的集合。

证明：首先，$Z(G)$非空，因为单位元肯定可以与所有元素交换；接下来证明封闭性：$\forall a,b\in Z(G)，\forall x\in G,ax=xa,bx=xb$，那么$abx=axb=xab$，封闭性可知；然后证明逆元存在：$\forall a\in Z(G)，ax=xa$，$a^{-1}ax=a^{-1}xa=x,a^{-1}x=x{a}^{-1}$，逆元可知。

群中心化子（Centralizer of $a$ in $G$）

$a$是个固定的群元素，中心化子$C(a)$是所有可与$a$交换的群元素的集合，即 C ( a ) = { g ∈ G ∣ g a = a g } C(a)=\{g\in G\mid ga=ag\} C(a)={g∈G∣ga=ag}
$\forall a\in G,C(a)\le G$，所有元素的中心化子都是子群

证明：首先$C(a)$非空，$a$肯定和它本身可交换；然后证明封闭性：$\forall b,c\in C(a)$，显然$b,c$分别与$a$可交换，那么$bca=bac=abc$，封闭性可知；然后证明逆的存在，和群的中心一样证明就可。