Codeforces-1696 D: Permutation Graph

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题目

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样例描述

题目大意

  给定一个 $1\cdots n$ 的排列，对于一个连续的区间 $a_i\cdots a_j$，若 $a_i$ 是这段区间的最小/最大值，同时，$a_j$ 也是这段区间的最小/最大值，那么我们可以在 $i,j$ 结点上连一条无向边。问这样构造出的图，从 $1$ 到 $n$ 的最短路径。

题目解析

  首先暴力是肯定不行的，因为若是一个单调的数组，能连的边是 $n^2$ 级别的。
  这道题表面上是最短路径，实际上是考察必经结点。现在假设 $a_1\cdots a_n$ 的最大值在 $a_2\cdots a_{n-1}$ 中，那么一个显然的结论是，这种情况下我们是无法绕过最大值从 $1$ 达到 $n$ 的，最小值同理。那么其中的最大值就变成了一个必经的结点 $k$。那么这样的必经之路有多少呢，显然 $[1,k)$ 中的最小值，$(k,n]$ 中的最小值都是必经之路，之后我们递归向左向右寻找这种必经之路，就能形成 $1$···最小-最大-最小···$n$ 这样的路径，显然，只存在必经之路的路径是最短的。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;


const int maxn = 6e5 + 7;
int log_2[maxn];
struct P {
    int v, id;
}mx[maxn][18], mn[maxn][18];

void setST(const vector<int>& a) {
    log_2[0] = -1;
    for(int i=0; i<a.size(); ++i) {
        mx[i][0].v = mn[i][0].v = a[i];
        mx[i][0].id = mn[i][0].id = i;
        log_2[i+1] = (((i+1)&i) == 0)?log_2[i]+1: log_2[i];
    }
    for(int j=1; j<18; ++j)
        for(int i=0; i<a.size(); ++i) {
            mx[i][j] = (mx[i][j-1].v < mx[i+(1<<(j-1))][j-1].v)? mx[i+(1<<(j-1))][j-1]:mx[i][j-1];
            mn[i][j] = (mn[i][j-1].v > mn[i+(1<<(j-1))][j-1].v)? mn[i+(1<<(j-1))][j-1]:mn[i][j-1];
        }
}

int query_mx(int l, int r) {
    int k = log_2[r - l + 1];
    if(mx[l][k].v < mx[r - (1<<k) + 1][k].v)
        return mx[r - (1<<k) + 1][k].id;
    else return mx[l][k].id;
}

int query_mn(int l, int r) {
    int k = log_2[r - l + 1];
    if(mn[l][k].v > mn[r - (1<<k) + 1][k].v)
        return mn[r - (1<<k) + 1][k].id;
    else return mn[l][k].id;
}

void dfs(int l, int r, bool cur, bool dir, vector<int>& a, vector<int>& ans) {
    if(dir) {
        int idx = cur?query_mn(l, r):query_mx(l, r);
        if(l < idx) dfs(l, idx, cur^1, dir, a, ans);
        ans.emplace_back(idx);
    } else {
        int idx = cur?query_mn(l, r):query_mx(l, r);
        if(idx < r) dfs(idx, r, cur^1, dir, a, ans);
        ans.emplace_back(idx);
    }
}

int main() {
   int T, n;
   cin >> T;
   while(T--) {
        cin >> n;
        vector<int> a(n);
        for(int& i : a) cin >> i;

        if(n == 1) {
            cout << 0 << endl; continue;
        } else if(n == 2) {
            cout << 1 << endl; continue;
        }

        setST(a);
        vector<int> ans;
        int idx = query_mx(0, n - 1); ans.emplace_back(idx);

        if(0 < idx) dfs(0, idx, true, true, a, ans);
        if(idx < n - 1) dfs(idx, n - 1, true, false, a, ans);

        cout << ans.size() - 1 << endl;
   }
   return 0;
}
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