[英雄星球六月集训LeetCode解题日报] 第29日 分治

日报

题目

一、 654. 最大二叉树

链接: 654. 最大二叉树

1. 题目描述

2. 思路分析

按照题意模拟即可。

3. 代码实现

class Solution:
    def constructMaximumBinaryTree(self, nums: List[int]) -> TreeNode:
        n = len(nums)
        def dfs(i,l,r):
            root = TreeNode(nums[i])
            m = -1
            mi = -1
            for j in range(l,i):
                if nums[j]>m:
                    m = nums[j]
                    mi = j   
            if i > l:                         
                root.left = dfs(mi,l,i-1)
            if i<r:
                m = -1
                for j in range(i+1,r+1):
                    if nums[j]>m:
                        m = nums[j]
                        mi = j                            
                root.right = dfs(mi,i+1,r)
            return root

        m = -1
        mi = -1
        for j in range(0,n):
            if nums[j]>m:
                m = nums[j]
                mi = j  
        return dfs(mi,0,n-1)
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二、889. 根据前序和后序遍历构造二叉树

链接: 889. 根据前序和后序遍历构造二叉树

1. 题目描述

2. 思路分析

• 我们处理一棵树的时候将这颗树分为三部分：根节点、左子树，右子树。
• 对preoder来说，构成为[根、左子树、右子树]；对postorder来说，构成为[左子树、右子树、根]。
• 显然，这三部分在preorder和postorder里都是连续的，则有：
• 一颗树的根节点显然是preorder[0]、postorder[-1]；
• 接下来找左右子树，左子树的根节点显然是preorder[1],然后在postorder里找到这个节点的下标i。
• 上边我们提到左子树在postorder里是连续的，且是第一部分，那么左子树长度width就是i+1。
• 显然剩下一部分就是右子树。
• 创建根节点，然后dfs分别构建左右子树即可。

3. 代码实现

class Solution:
    def constructFromPrePost(self, preorder: List[int], postorder: List[int]) -> TreeNode:
        
        def dfs(preorder,postorder):
            if not preorder:
                return None
            root = TreeNode(preorder[0])
            n = len(preorder)
            if n == 1:
                return root

            width = postorder.index(preorder[1])+1   # 左子树长度
            root.left = dfs(preorder[1:1+width], postorder[:width])
            root.right = dfs(preorder[width+1:], postorder[width:n-1])
            return root

        return dfs(preorder,postorder)
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三、 1569. 将子数组重新排序得到同一个二叉查找树的方案数

链接: 1569. 将子数组重新排序得到同一个二叉查找树的方案数

1. 题目描述

2. 思路分析

• BST的性质是：这棵树所有子树满足：左子树左右节点<根节点<右子树所有节点。
• 这题要求按数组顺序插入时，能构建同一颗BST。
• 观察数组样例，会发现第一个插入的一定是根节点，后续插入大的就去右边，小的就去左边；
• 大的和小的去到不同地方，那么大、小互相之间不会有影响，他们的相对顺序就是我们可以调整的。
• 如果两个都是小于根节点的值，他们俩的插入顺序变化，左子树就会发生变化，因为先插入的是长辈；同理右子树一样。
• 因此我们处理完左右子树后，合并的算法如下：
• 设左子树的节点数量为a，右子树的节点数量为b，求a个小数和b个小数排列到一起的方案数，其中a、b内部的顺序不能变。
• 这个点想了半天，最后发现其实就是C(a+b,a)，即为：一共a+b个位置，选a个放左子树的东西。剩下的放b。
• 然后就到了喜闻乐见的组合数取模问题，查了很多资料，有好几种算法计算C(n,r)：
  • 当n,r<1e3，可以用n^2算法，杨辉三角、帕斯卡恒等式:C(n,r) = C(n-1,r-1)+C(n-1,r). r==0时，C(n,0) = 1
    • 证明：从n中选一个基准数k，如果r里包含这个k，则是从剩下n-1个数取r-1个C(n-1,r)；如果不包含，就是从剩下n-1个取r个C(n-1,r-1)。
  • 当n,r<1e5，这时n^2算法不能用了。需要用线性递推，公式大概是C(n,r) = C(n,r-1)*(n-r+1)/r ，但是这个里包含除法，需要求从乘法逆元，这里不展开了。
  • 当n,r<1e9,MOD<1e5,这时需要用卢卡斯Lucas定理，时间复杂度是plgN，但是可以用O§预先处理p以内的逆元阶乘，然后单次查询就是lgN。
  • 当n,r<1e9,MOD<1e9，那不会做了。
• 研究半天，发现python的int自带大数，不管多少位都不溢出。而且自带组合数计算。
• 组合数:comb(n,r)
• 排列数:perm(n,r)
• 阶乘:factorial(n)
• 幂:2**65
• 以上都不会溢出，最后直接%MOD即可。
• Life is short,I use Python。
  有时间应该整理一下取模的模板。

3. 代码实现

class Solution:
    def numOfWays(self, nums: List[int]) -> int:
        MOD=10**9+7
        def dfs(nums):
            if not nums:
                return 1
            l,r = [],[]
            for i in range(1,len(nums)):
                if nums[i] < nums[0]:
                    l.append(nums[i])
                else:
                    r.append(nums[i])
            return comb(len(l)+len(r),len(r)) * dfs(l) *dfs(r) % MOD
        return (dfs(nums) + MOD - 1)%MOD
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