数学表达式&等式方程的变形&组合操作技巧/手段积累

分式

• 分子分母同时乘以&除以同一个表达式

  • 分子有理化
  • 分母有理化

• 分式拆分(因子重组)

方程(等式)

方程

数学中，方程（equation）可以简单的理解为含有未知数的等式，

• 即含有一个以上的未知数并结合等号的数学公式（formula）

等式

在数学的领域中，若两个数学对象在各个方面都相同，则称他们是相等的。这就定义了一个二元谓词等于，写作
$$x=y$$
当且仅当x和y相等。

通常意义上，等于是通过两个元素间的等价关系来构造的。

将两个表达式用等于符号连起来，就构成了等式，

注意，有些时候
$$A=B$$
并不表示等式。

例如，
$$T(n)=O(n^2)$$
表示在数量级
$$n^2$$
因为这里的符号=不满足当且仅当的定义，所以它不等于等于符号；

实际上，
$$O(n^2)=T(n)$$
是没有意义的。请参见大O符号了解这部分内容。

常见手法

• 错位相减

• 等式两边同时做相同的处理

  • 1的代换(譬如
    • 三角函数:$1=si{n}^{2}x+co{s}^{2}x$
    • 幂:$(x+\sqrt{x^2+1})(-x+\sqrt{x^2+1})=1$
  • 同时乘方
  • 同时加上某一个表达式
  • 带入消元(减小变量个数)
  • 等式组加减消元
    • 譬如,函数的最值相关问题

一般表达式处理

表达式（expression）此处是数学表达式（mathematical expression）的简称，

• 在数学领域中是一些符号依据上下文的规则，有限而定义良好的组合。
• 数学符号可用于标定常量、变量、操作、函数、括号、标点符号和分组，帮助确定操作顺序以及有其它考量的逻辑语法。
• 表达式随语境或不同领域学科也称：表示式、数学式、运算式（operation expression）、表式、陈式、算式；数学术语若是复合词，表达式也常简作“式”；
• 例如：代数式（algebraic expression）、渐近式（asymptotic expression）。

• 列项相消

  • 譬如一部分的数列求和

    • ∑ i = 1 n 1 ( i ) ( i + 1 ) = ∑ i = 1 n 1 ( i ) − 1 ( i + 1 ) = ∑ i = 1 n 1 i − ∑ i = 1 n 1 i + 1 = ( 1 1 + ∑ i = 2 n 1 i ) − ( ∑ i = 2 n 1 i + 1 n + 1 ) = 1 − 1 1 + n 令 : { f ( i ) = 1 i ; 则 g ( i ) = f ( i + 1 ) ‾ = 1 i + 1 , 可 见 是 一 个 ( 离 散 ) 函 数 的 向 左 偏 移 1 \sum\limits_{i=1}^n{\frac{1}{(i)(i+1)}} =\sum\limits_{i=1}^n{\frac{1}{(i)}-\frac{1}{(i+1)}} =\sum\limits_{i=1}^n{\frac{1}{i}} -\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{i+1} \\=(\frac{1}{1}+\sum\limits_{i=2}^{n}{\frac{1}{i}}) -(\sum\limits_{i=2}^{n}\frac{1}{i}+\frac{1}{n+1}) \\=1-\frac{1}{1+n} \\ 令:
      {f(i)=1i;则g(i)=f(i+1)––––––––=1i+1,可见是一个(离散)函数的向左偏移1$$\{\begin{array}{l}f(i)=\frac{1}{i};\\ 则g(i)=\underset{\_}{f(i+1)}=\frac{1}{i+1},可见是一个(离散)函数的向左偏移1\end{array}$$
      i=1∑n​(i)(i+1)1​=i=1∑n​(i)1​−(i+1)1​=i=1∑n​i1​−i=1∑n​i+11​=(11​+i=2∑n​i1​)−(i=2∑n​i1​+n+11​)=1−1+n1​令:{f(i)=i1​;则g(i)=f(i+1)​=i+11​,可见是一个(离散)函数的向左偏移1​

• 对数&指数的转化

• 换元法

• 配凑法

  • 加上一个表达式再减去相同大小的表达式

    • 例如,分离常数:(可以起到集中变量x的效果)

      • $$f(x)=\frac{2x-1}{x+1}=\frac{2x-1+2-2}{\frac{1}{2}(2x+2)}=\frac{2x+2-3}{x+1}=2+\frac{-3}{x+1}$$

    • 再比如导函数求导法则种的乘法求导法则的推导/证明:

      • $$\begin{gathered} f(x)=u(x)v(x) \\ {f}^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)}{\Delta x} \\ 配凑\&组合 \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[(u(x+\Delta x)-u(x))v(x+\Delta x)]+[u(x)(v(x+\Delta x)-v(x))]}{\Delta x} \\ =\lim \Delta x\to 0\left\{\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+u(x)\cdot \frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x}\right\} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\cdot v(x+\Delta x)+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }u(x)\cdot \frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x} \\ =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(u(x+\Delta x)-u(x))}{\Delta x}\underset{\Delta x\to 0}{\lim }v(x+\Delta x) \\ +\underset{\Delta x\to 0}{\lim }u(x)\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{(v(x+\Delta x)-v(x))}{\Delta x} \\ =u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x) \end{gathered}$$

  • 拆项相消

  • 方程组成组处理(经常是相加/减)法

  • 很多和1有关

直观的例子

• 这里的元可能是指复杂的式子(作为整体)
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