误差卡尔曼中的四元数运动学-第二章

第二章 旋转和交叉关系

2.1 三维矢量旋转公式

公式54的向量旋转公式，是从向量分解的角度推导来的，对于一个旋转来说，就是可以分解为垂直方向和平行方向。

2.2 旋转群SO(3)

在机器人中，刚体的旋转是非常常见的，需要用旋转来刻画它。
定义的旋转需要满足：向量的模长不变、两个向量之间的夹角不变，向量之间的相对朝向不变。
表一给出的是旋转矩阵以及其四元数表示，具体每一个的性质会在下面的章节中给出。

2.3 旋转群和旋转矩阵

为什么可以用旋转矩阵来表示旋转，因为旋转的过程都是向量和实数的相乘，都是线性的。

2.3.1

通过$R^{T}R=I$的性质，两边同时取倒数，可以得到R的倒数。
公式68. 当把对时间倒数看做速度时，速度乘以时间，就是距离。

2.3.3 旋转矩阵和旋转向量

2.3.5 旋转动作

对向量进行旋转，本质就是那个分解平行垂直操作，R通过指数映射，最后都变成了那个分解的形式。

2.4 旋转群和四元数

四元数的旋转，是将一个点看做一个纯虚四元数去做的。
matlab quaternion

2.4.1 指数映射

四元数对时间的倒数，是一个纯虚四元数。

2.4.6

把四元数当成一个普通的四维向量，那么该向量和单位一向量之间的夹角可以计算出来。$\theta$角是四维空间中的。

2.5 旋转矩阵和四元数

可以看到四元数与旋转矩阵之间是可以互转的。

2.6 旋转成分

旋转成分，下标的表示养成良好的习惯，采用一致性比较好的表示方法。

2.7 球面线性插值

类比为两个距离，就是找到一个平均速度，在单位时间里，从q0到q1。
然后表达式中是关于t的函数，那么就可以求得任意时间的姿态。
把方法一弄清楚就好了，方法二、三都不是标准方法。

2.8 四元数和等斜旋转

这个是想直观得讲解四元数的可视化。不用过于深究。

• 2.2中，向量之间的相对朝向的概念
• 2.4 中，公式86的quaternion与向量相乘，在matlab中的表示。
• 2.4.1中，OMEGA的定义是什么呢？还有就是，这个速度是不是自己定义的，这个本身并不能提前定义。比如一个distance，速度和distance之间，本身并没有直接联系的。
• 2.4.6中的The double cover of the manifold of SO(3)怎么理解
• 2.4.6 中图4还需要再理解一下