样本数据抽样和模型验证方法

在机器学习中，通常把样本分为训练集和测试集，训练集用于训练模型，测试集用于评估模型。在样本划分和模型验证的过程中，存在着不同的抽样方法和验证方法。那么

问题1： 在模型评估过程中，有哪些主要的验证方法，它们的优缺点是什么？

（1）Holdout检验：
Holdout检验是最简单也是最直接的验证方法，它将原始的样本集合随机划分成训练集和验证集两部分。
比方说，对于一个点击率预测模型，我们把样本按照70%~30%的比例分成两部分，70%的样本用于模型训练。30%用于模型验证，包括绘制ROC曲线，计算精确率和召回率等指标来评估模型性能。

Holdout检验的缺点很明显：即在验证集上计算出来的最后评估指标和原始分组有很大的关系。为了消除这个随机性，研究者引入了“交叉检验”．
（2）交叉检验
k-fold交叉检验：首先将全部样本划分成$k$个大小相等的样本子集。依次遍历这$k$个子集，每次把当前子集作为验证集，其余所有子集作为训练集，进行模型训练和评估。最后把$k$次的评估指标的平均值作为最终的评估指标。在实际实验中，$k$经常取值10。
留一验证：每次留下1个样本作为验证集，其余所有样本作为训练集，样本总数为n，依此对n个样本进行遍历，进行n次验证，再将评估指标求平均值得到最终的评估指标。
在样本总数较多的情况下，留一验证法的时间开销极大。事实上，留一验证是留$p$验证的特例，留$p$验证是每次留下$p$个样本作为验证集，从n个元素中选出$p$个元素有$C_n^p$个可能，因此它的时间开销更是远远高于留一验证，所以很少使用。
（3）自助法
不管是Holdout检验还是交叉检验，都是基于划分 训练集 和 测试集 的方法进行模型评估的。然后，当样本规模比较小时，将样本集进行划分会让训练集进一步减小，这可能会影响模型训练效果。有没有能维持训练集合样本规模的验证方法呢？自助法可以比较好的解决这个问题；

自助法基于自助采样法的检验方法。对于总数为n的样本集合，进行n次有放回的随机抽样，得到大小为n的训练集。n次采样过程中，有的样本会被重复采样，有的样本没有被抽取过，将这些没有被抽取过的样本作为验证集，进行模型验证，这就是自助法验证过程。

问题2：在自助法的采样过程中，对n个样本进行n次自助采样，当n趋于无穷大时，最终有多少个数据从未被选择过？

一个样本在一次抽样过程中未被抽中的概率为$(1-\frac{1}{n})$，n次抽样均为抽中的概率为$(1-\frac{1}{n}{)}^n$。当n趋于无穷大时，概率为${\lim }_{x\to \infty }(1-\frac{1}{n}{)}^n$。根据重要极限：${\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$，所以有
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1-\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{n-1}{n}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }(\frac{1}{\frac{n}{n-1}}{)}^n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{(1+\frac{1}{n-1}{)}^n}=\frac{1}{{\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n-1}{)}^{n-1}}\cdot \frac{1}{{\lim }_{n\to \infty }(1+\frac{1}{n-1})}=\frac{1}{e}\approx 0.368$$

因此，当样本数很大时，大约有36.8%的样本从未被选择过，可作为验证集。

超参数调优

问题1：超参数有哪些调优方法？

为了进行超参数调优，我们一般会采用网格搜索、随机搜索、贝叶斯优化等算法。在具体介绍算法之前，需要明确超参数搜索算法一般包括哪几个要素。

1. 一是目标函数，即算法需要最大化/最小化的目标；
2. 二是搜索范围，一般通过上限和下限来确定；
3. 三是算法的其他参数，如搜索步长。

（1）网格搜索
网格搜索可能是最简单、应用最广泛的超参数搜索算法。它通过查找搜索范围内的所有的点来确定最优值。如果采用较大的搜索范围以及较小的步长，网格搜索有很大概率找到全局最优值。然而,这种搜索方案十分消耗计算资源和时间，特别是需要调优的超参数比较多的时候。因此，在实际应用中，网格搜索法一般会先使用较广的搜索范围和较大的步长，来寻找全局最优值可能的位置；然后会逐渐缩小搜索范围和步长，来寻找更精确的最优值。这种操作方案可以降低所需的时间和计算量，但由于目标函数一般是非凸的，所以很可能会错过全局最优值。
（2）随机搜索
随机搜索的思想与网格搜索比较相似，只是不再测试上界和下界之间的所有值，而是在搜索范围中随机选取样本点。它的理论依据是：如果样本点集足够大，那么通过随机采样也能大概率地找到全局最优值，或其近似值。随机搜索一般会比网格搜索要快一些，但是和网格搜索的快速版一样，它的结果也是没法保证的。
（3）贝叶斯优化算法
贝叶斯优化算法在寻找最优最值参数时，采用了与网格搜索、随机搜索完全不同的方法。网格搜索和随机搜索在测试一个新点时，会忽略前一个点的信息；而贝叶斯优化算法则充分利用了之前的信息。贝叶斯优化算法通过对目标函数形状进行学习，找到使目标函数向全局最优值提升的参数。
具体来说，它学习目标函数形状的方法是

• 首先根据先验分布，假设一个搜集函数；
• 然后，每一次使用新的采样点来测试目标函数时，利用这个信息来更新目标函数的先验分布；
• 最后，算法测试由后验分布给出的全局最值最可能出现的位置的点。

对于贝叶斯优化算法，有一个需要注意的地方，一旦找到了一个局部最优值，它会在该区域不断采样，所以很容易陷入局部最优值。为了弥补这个缺陷，贝叶斯优化算法会在探索和利用之间找到一个平衡点，“探索”就是在还未取样的区域获取采样点；而“利用”则是根据后验分布在最可能出现全局最值的区域进行采样。

过拟合与欠拟合问题

在模型评估和调整的过程中，往往会遇到”过拟合“和”欠拟合“的情况。那么

问题1：在模型评估过程中，过拟合和欠拟合具体是指什么现象？

过拟合是指模型对于训练数据拟合呈过当的情况，反映到评估指标上，就是模型在训练集上的表现很好，但在测试集和新数据上的表现较差。
欠拟合是指模型在训练和预测时表现都不好的情况，反映到评估指标上，就是模型在训练集和测试集上的表现都不好。

问题2：有哪些方法可以降低过拟合和欠拟合风险？

（1）降低“过拟合”风险的方法

• 从数据入手，获取更多的数据。使用更多的训练数据是解决过拟合问题最有效的手段。因为更多的样本能够让模型学习到更多更有效的特征，减少噪声的影响。当然，直接增加实验数据一般是困难的，但是可以通过一定的规则来扩充训练数据。比如，在图像分类问题上，通过图像的平移、旋转、缩放等方式扩充数据；更进一步，使用生成式对抗网络来合成大量的新训练数据。
• 降低模型复杂度。 数据较少时，模型过于复杂是产生过拟合的主要因素。适当降低模型复杂度可以避免模型拟合过多的采样噪声。例如：在神经网络模型中减少网络层数、神经元个数；在决策树模型中降低树的深度、进行剪枝等。
• 正则化方法。给模型的参数加上一定的正则约束，比如将权值的大小加入到损失函数中。以L2正则化为例：
  $$C=C_0+\frac{\lambda }{2n}\cdot \sum _i{w}_i^2$$
  这样，在优化原来的目标函数$C_0$的同时，也能避免权值过大带来的过拟合风险。
• 集成学习方法。集成学习是把多个模型集成在一起，来降低单一模型的过拟合风险。如Bagging方法。

（2）降低“欠拟合”风险的方法

• 添加新特征。当特征不足或者现有特征与样本标签的相关性不强时，模型容易出现欠拟合。通过挖掘“上下文特征”、“ID类特征”、“组合特征”等新的特征，往往能够取得更好的效果。在深度学习潮流中，有很多模型可以帮助完成特征工程，如因子分解机、梯度提升决策树、Deep-crossing等都可以成为丰富特征的方法。
• 增加模型复杂度。简单模型的学习能力较差，通过增加模型的复杂度可以使模型拥有更强的拟合能力。例如，在线性模型中添加高次项，在神经网络模型中增加网络层数或神经元个数等。
• 减小正则化系数。正则化是用来防止过拟合的，当模型出现欠拟合现象时，需要针对性减小正则化系数。

参考资料

[1] 《百面机器学习》第二章 模型评估