区间乘积的因子数之和

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题意：
给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$，数组中每个数都是不大于 $3$ 的正整数。已知一个区间的权值为该区间所有数乘积的因子数量，求所有区间的权值之和。答案对 $1e9+7$ 取模。

数据范围：
$1\le n\le 10^5$
$1\le a_i\le 3$

题解：
一个数 $x$ 的因子数量为：
将 $x$ 拆成所有质因子的乘积形式，统计每种质因子的个数，第 $i$ 个质因子 $p_i$ 的数量为 $cn{t}_{p_i}$
那么数 $x$ 的因子数量为：$\prod _{i=1}(cn{t}_{p_i}+1)$

$pre{2}_i=\sum _{j=1}^i[a_j=2]$ ，$pre{3}_i=\sum _{j=1}^i[a_j=3]$

$ppre{2}_i=\sum _{j=1}^{i}pre{2}_j$，$ppre{3}_i=\sum _{j=1}^{i}pre{3}_j$

$mul23_i=\sum _{j=1}^{i}pre{2}_j\times pre{3}_j$

对于题目中的区间权值，等价于 $(pre2+1)\times (pre3+1)$。

所以本题求的就是：$\sum _{r=1}^n\sum _{l=1}^r(pre{2}_r-pre{2}_{l-1}+1)\times (pre{3}_r-pre{3}_{l-1}+1)$

化简：
$$\begin{gathered} (pre{2}_r-pre{2}_{l-1}+1)\times (pre{3}_r-pre{3}_{l-1}+1) \\ =pre{2}_r\times pre{3}_r-pre{2}_r\times pre{3}_{l-1}+pre{2}_r-pre{2}_{l-1}\times pre{3}_r+pre{2}_{l-1}\times pre{3}_{l-1}-pre{2}_{l-1}+pre{3}_r-pre{3}_{l-1}+1 \\ =(pre{2}_r\times pre{3}_r+pre{2}_r+pre{3}_r+1{)}_{①}+(pre{2}_{l-1}\times pre{3}_{l-1}{)}_{②}-(pre{2}_{l-1}\times (pre{3}_r+1)+pre{3}_{l-1}\times (pre{2}_r+1){)}_{③} \end{gathered}$$

对上述三个表达式分别求和：
① $$\begin{gathered} \sum _{r=1}^n\sum _{l=1}^r(pre{2}_r\times pre{3}_r+pre{2}_r+pre{3}_r+1) \\ =\sum _{r=1}^{n}r\times (pre{2}_r\times pre{3}_r+pre{2}_r+pre{3}_r+1) \end{gathered}$$

② $$\begin{gathered} \sum _{r=1}^n\sum _{l=1}^r(pre{2}_{l-1}\times pre{3}_{l-1}) \\ =\sum _{r=1}^{n}mul23_{r-1} \end{gathered}$$

③ $$\begin{gathered} \sum _{r=1}^n\sum _{l=1}^r-(pre{2}_{l-1}\times (pre{3}_r+1)+pre{3}_{l-1}\times (pre{2}_r+1)) \\ =-\sum _{r=1}^n\sum _{l=1}^r(pre{2}_{l-1}\times (pre{3}_r+1)+pre{3}_{l-1}\times (pre{2}_r+1)) \\ =-\sum _{r=1}^n(ppre{2}_{r-1}\times (pre{3}_r+1)+ppre{3}_{r-1}\times (pre{2}_r+1)) \end{gathered}$$

均可以在 $O(n)$ 时间复杂度内完成。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 100010;
int a[N], n;
int pre2[N], ppre2[N];
int pre3[N], ppre3[N];
int mul23[N];

void add(int& a, int b) {
	a = (a + b) % mod;
	if (a < 0) a += mod;
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &a[i]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		pre2[i] = pre2[i - 1];
		pre3[i] = pre3[i - 1];
		
		if (a[i] == 2) {
			add(pre2[i], 1);
		} else if (a[i] == 3) {
			add(pre3[i], 1);
		}
		
		ppre2[i] = ppre2[i - 1];
		ppre3[i] = ppre3[i - 1];
		add(ppre2[i], pre2[i]);
		add(ppre3[i], pre3[i]);
		
		mul23[i] = mul23[i - 1];
		add(mul23[i], 1ll * pre2[i] * pre3[i] % mod);
	}
	
	int ans = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int temp = 0;
		add(temp, 1ll * pre2[i] * pre3[i] % mod);
		add(temp, pre2[i]);
		add(temp, pre3[i]);
		add(temp, 1);
		add(ans, 1ll * i * temp % mod);

		add(ans, -1ll * (1 + pre3[i]) * ppre2[i - 1] % mod);
		add(ans, -1ll * (1 + pre2[i]) * ppre3[i - 1] % mod);
		add(ans, mul23[i - 1]);
	}
	
	printf("%d\n", ans);
	
	return 0;
}
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