【*E】leetcode-118. 杨辉三角

package com.leetcode.easy;
 
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
/*
 * 118. 杨辉三角
给定一个非负整数 numRows，生成「杨辉三角」的前 numRows 行。
在「杨辉三角」中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
 
示例 1:
输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]
示例 2:
输入: numRows = 1
输出: [[1]]
 
提示:
    1 <= numRows <= 30
链接：https://leetcode.cn/problems/pascals-triangle
 */
public class Hot118_PascalTriangle {
	// -----------------------------------Solution1:数学----------------------------------
	/*
	 * 杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来
	 * ，是一种离散型的数与形的结合。
	 * 
	 * 杨辉三角具有以下性质：
	 * 
	 * 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大再变小，并最终回到 1。
	 * 
	 * 第 n 行（从 0 开始编号）的数字有 n+1 项，前 n 行共有 n(n+1)2个数。
	 * 
	 * 第 n行的第 m 个数（从 0 开始编号）可表示为可以被表示为组合数 C(n,m)，记作 Cnm或 (nm)，即为从 n 个不同元素中取 m
	 * 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它：Cnm=n!m!×(n−m)!
	 * 
	 * 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n−1 行的第 i−1个数和第 i
	 * 个数之和。这也是组合数的性质之一，即 Cni=Cn−1i+Cn−1i−1
	 * 
	 * (a+b)^n 的展开式（二项式展开）中的各项系数依次对应杨辉三角的第 nnn 行中的每一项。
	 * 
	 * 依据性质 4，我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 i 行的值，我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。
	 * 
	 * 时间复杂度：O(numRows2)。
	 * 
	 * 空间复杂度：O(1)。不考虑返回值的空间占用。
	 * 
	 * 
	 */
	public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
		List<List<Integer>> ans = new ArrayList<List<Integer>>();
		for(int i = 0; i < numRows; ++i) {
			List<Integer> rowList = new ArrayList<Integer>();
			for(int j = 0; j <= i; ++j) {
				if(j == 0 || j == i)
					rowList.add(1);
				else
					rowList.add(ans.get(i-1).get(j-1)+ans.get(i-1).get(j));
			}
			ans.add(rowList);
		}
		return ans;
    }
}