R大数定律(Python切比雪夫不等式验证大数定律)模拟圆周率

大数定律

在概率论中，大数定律 (LLN) 是描述大量执行相同实验的结果的定理。 根据规律，大量试验所得结果的平均值应接近预期值，并随着试验次数的增加而趋于接近预期值。

LLN 很重要，因为它保证了一些随机事件的平均值的长期稳定结果。例如，虽然赌场可能会在轮盘赌的单次旋转中赔钱，但其收益将趋向于在大量旋转中的可预测百分比。 玩家的任何连胜最终都会被游戏的参数所克服。 要注意的是，该定律仅在考虑大量观察时才适用（如名称所示）。 没有原理关系的是少数观察结果会与预期值一致，或者一个值的连续性会立即被其他值“平衡”。

另外是要注意，LLN 仅适用于平均值。因此，虽然

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{X_i}{n}=\bar{X}$$

其他看起来相似未经验证的公式，例如与“理论结果”的原始偏差：

$$\sum _{i=1}^n{X}_i-n\times \bar{X}$$

它不仅不会随着 $n$ 的增加而收敛到零，反而随着 $n$ 的增加，它的绝对值也趋于增加。

模拟

为了完整起见，下面的模拟将按照以下逻辑估计 $\pi$ 的值：

知道圆的面积是 $\pi r^2$，我们知道半径 ( $r$ ) 为 1 的圆的面积只是 $\pi$ 。 如果我们将圆完美地放置在边长为 2 的正方形（即面积为 4）的内部，我们知道圆的面积与正方形的面积之比为 $\frac{\pi }{4}$。

因此，如果我们随机向一个尺寸相同的飞镖板多次投掷飞镖，那么圆内的飞镖与击中正方形的飞镖的比率应该接近 $\frac{\pi }{4}$。如果我们将这个比率乘以 4，我们就得到了 $\pi$ 的估计值。

# Create a dartboard 
dart_board <- ggplot() + 
 geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 1), fill = "black") + 
 geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.99), fill = "red") + 
 geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.7), fill = "lightyellow") + 
 geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.2), fill = "red") + 
 geom_circle(aes(x0 = 0, y0 = 0, r = 0.1), fill = "darkgreen") + 
 coord_fixed() + 
 geom_segment(aes(x=-1,xend=1,y=1,yend=1)) + 
 geom_segment(aes(x=-1,xend=1,y=-1,yend=-1)) + 
 geom_segment(aes(x=1,xend=1,y=-1,yend=1)) + 
 geom_segment(aes(x=-1,xend=-1,y=-1,yend=1)) + 
 xlab("x")+ylab("y")+ 
 theme_bw() 
 
dart_board
1
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4
5
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7
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绘制收敛趋势图

源代码

Python切比雪夫不等式验证大数定律

参阅 - 亚图跨际