一、为什么要从On- Policy到Off-Policy？

对于经典的policy gradient，当我们的agent和环境交互之后要进行policy model的更新，对于一个episode只能更新一次，更新后就要重新采集数据，然后再更新。

因此我们想要off-policy，用另外一个policy，另外一个actor ${\theta }^{\prime }$与环境交互，用${\theta }^{\prime }$收集的数据训练$\theta$。

On-Policy：要训练的agent和与环境交互的agent是同一个，此时的policy.
Off-Policy：要训练的agent和与环境交互的agent不是是同一个的policy.

二、如何从On- Policy到Off-Policy？

重要性采样（Importance Sampling）：从另一个分布中采样从而逼近所求分布。

从q分布中采样，求p的期望可以通过如下方法：
$$\int f(x)p(x)dx=\int f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)dx=E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$$
$\frac{p(x)}{q(x)}$是重要性权重，相当于做了一个分布差异的修正。理论上$q(x)$可以是任意分布，但在实际上p和q不能差太多。因为两个随机变量的期望相同不代表它们的方差也相同。
$$\begin{gathered} Va{r}_{x\sim p}[f(x)]=E_{x\sim p}[f(x{)}^2]-(E_{x\sim p}[f(x)]{)}^2 \\ Va{r}_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]=E_{x\sim q}[f(x{)}^2\frac{p(x)}{q(x)}]-(E_{x\sim q}[f(x)]{)}^2 \end{gathered}$$
如果$p(x),q(x)$差异过大，方差就会差很多。

从第一个等式到第二个等式利用了重要性采样原理，第二等式到第三个等式利用了条件概率。第三个等式中$p_{\theta }(s_t)$和$p_{{\theta }^{\prime }}(s_t)$可以假设是差不多的，因为$p_{\theta }(s_t)$很难算，用$\theta$去跟环境做互动，算$s_t$出现的概率，尤其是图片，同样的$s_t$不会出现第二次，无法估算这一项因此无视这个问题。
但$p_{\theta }(a_t|s_t)$很好算，$\theta$是一个网络，把$s_t$代进去，就会告诉某个状态的$a_t$概率是多少。
利用右上角蓝色方框内的公式，就能够反推原函数
$$J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)]$$

三、如何使$p_{\theta }(a_t|s_t)$和$p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)$不相差太多？

3.1 PPO

我们已经通过重要性采样把on-policy转换成off-policy，但重要性采样有一个问题：若$p_{\theta }(a_t|s_t)$和$p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)$相差太多，重要性采样的结果就会不怎么好。这就是PPO在做的事情。

在训练的时候增加一个约束，这个约束是限制$\theta$和${\theta }^{\prime }$输出的动作KL散度。这里并不是指参数上的距离，而是衡量它们动作上的距离。

PPO的前身是TRPO信任区域策略优化，TRPO式子：
$$\begin{gathered} J_{TRPO}^{{\theta }^{\prime }}=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)] \\ KL(\theta ,{\theta }^{\prime })<\delta \end{gathered}$$
PPO的式子是：
$$\begin{gathered} J_{PPO}^{{\theta }^{\prime }}=J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )-\beta KL(\theta ,{\theta }^{\prime }) \\ {J}^{{\theta }^{\prime }}(\theta )=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)] \end{gathered}$$
所以两者的区别是，TRPO在求解时KL作为约束，PPO将约束放在式子里。在基于梯度的优化时，有约束很难处理，因此两者的效率差不多，但PPO更容易求解。
PPO算法有两个主要的变种：PPO-Penalty和PPO-Clip。

3.1.1 PPO-Penalty (PPO1)

$$\begin{gathered} J_{PPO}^{{\theta }^{\prime }}=J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )-\beta KL(\theta ,{\theta }^{\prime }) \\ ifKL(\theta ,{\theta }^{\prime })>K{L}_{max},increase\beta \\ ifKL(\theta ,{\theta }^{\prime })<K{L}_{max},decrease\beta \end{gathered}$$
$\beta$是一个自适应调整的权重。当KL过大，增加惩罚；当KL小于能够接受的最大值，减小惩罚项。

3.1.2 PPO-Clip (PPO2)

PPO2没有较复杂的KL散度。PPO2要最大化的目标函数如下所示：
$$J_{PPO2}^{{\theta }^k}(\theta )=\sum _{(a_t,s_t)}min(\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^k}(s_t,a_t),clip(\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k}(a_t|s_t)},1-ϵ,1+ϵ))$$

• clip这里是，如果第一项小于第二项，就输出第二项；如果大于第三项，就输出第三项。
• $ϵ$是一个超参数，需要tune，可以取0.1/0.2。

接下来看一下clip函数算出来究竟是神马形状。

那么，PPO2是如何实现减小$p_{\theta }(a_t|s_t)$和$p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)$的差异的呢？

A>0时，取蓝线和绿线中最小的，就是红色线。A>0说明$(s_t,a_t)$是相对较好的，因此我们希望尽可能提升$p_{\theta }(a_t|s_t)$，但为了减小$p_{\theta }(a_t|s_t)$和$p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)$的差异，训练到$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}$大到$1+ϵ$就停止了。

A<0时，为了min，我们需要取蓝线和绿线中最大的，即红色线。A<0说明$(s_t,a_t)$是相对较差的，因此我们希望尽可能减小$p_{\theta }(a_t|s_t)$，但为了减小$p_{\theta }(a_t|s_t)$和$p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)$的差异，训练到$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}$小到$1-ϵ$就停止了。