TFIDF与BM25

TFIDF

先复习一下 tfidf，tf是词频，即某个词 i 在 文章 j 中出现的频率。分母是文章中所有词的个数，分母是词 i 出现的次数。tf越高说明该词越重要，对于短文本匹配，每个词一般只出现一次，tf 的大小就取决于分母，即文章的长度。
$$t{f}_{i,j}=\frac{n_{i,j}}{{\sum }_k{n}_{k,j}}$$
idf是逆文档频率，计算该词出现在所有文章中的频率，此时，分母是包含该关键字 i 的文章数，分子是所有文章数 N。用log相当于趋势不变，数值变小了。该词出现越多，分子越大，idf值越小，比如：“的” 经常出现，因此不是关键词。当词 i 在 文章 j 中完全不出现，分母为0，因此给分母加 1。
$$id{f}_i=log\frac{N}{d{f}_i+1}$$
tf和idf的乘积就是词 i 在文章 j 中的重要性。
$$tfid{f}_{i,j}=t{f}_{i,j}\times id{f}_i$$
在搜索中，计算搜索串中的多个关键词 与 文章 j 的相似度：将各词的 tfidf 相加：
$$similarity=\sum _{i}tfid{f}_{i,j}$$
搜索之前，需要知道各个词在已知文章集中的分布。

BM25

BM25是基于TF-IDF的改进算法，BM 是Best Match最佳匹配的缩写，25指的是第25次算法迭代。

idf 部分只做了微调：
$$id{f}_i=log\frac{N-d{f}_i+0.5}{d{f}_i+0.5}$$
其中分母部分从所有文章中减去了包含 i 的文章，0.5用于平滑。

接下来，又对 tf 做了如下调整：
$$tfscore=\frac{(k+1)\times tf}{k\times (1-b+b\times \frac{L_d}{L_{avg}})+tf}$$
这里引入了超参数 k 和 b。

先看分母中的括号，Ld是文章长度，Lavg是所有文章的平均长度，当文章长度与平均长度一致时，括号里值为 1，相当于未乘系数；当文章比平均长度短时，括号里的值小于1，分母越小，上式结果越大，也就是说文章越短，每一个词越重要，这也与直觉一致。另外，长度的影响与b有关，b越大，影响越大，b的取值在0-1之间，当b为0时，完全不考虑长度的影响，b 一般取值为 0.75。

k 用于标准化词频的范围，将 tf 值压缩到 0~k+1 之间，其函数曲线如下：
$$tfscore=\frac{(k+1)\times tf}{k+tf}$$

其横轴为 tf，纵轴为 tfscore，分别针对 k=0,1,2,3,4 画图。当k=0时，tfscore为 1，不考虑词频的影响，而 k 越大词频越趋近于原始词频。因此，如果文章只包含短文本，或者无需关注词出现几次，则可将其设成 k=0。

有时还考虑到词 i 在搜索文本中的频率，上式扩展成：
$$\sum _{t\in q}log[\frac{N-d{f}_i+0.5}{d{f}_i+0.5}]\times \frac{(k_1+1)t{f}_{td}}{k_1(1-b+b\times \frac{L_d}{L_{avg}})+t{f}_{td}}\times \frac{(k_2+1)t{f}_{tq}}{k_2+t{f}_{tq}}$$
其中td指被搜索文本，tq指搜索文本。

这样我们就可以细化的控制 tf 的占比，以及文章长度的影响，以适应各种不同情况下的搜索和匹配任务。注意设置参数k和b。

之前的BM25算法集成在gensim里，最新的版本没有了，如果想使用，可以从旧版本里抽出来。