数学分析—集合与映射

有时候做项目往往是不走捷径，不采用最简单的方法，而是采用更加复杂的方法来突显任务量。

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集合

x属于A：$x\in A$
A是B的子集：$A\subset B$
A是B的真子集：$A⊊B$
A有$2^n$个子集，$2^n-1$个真子集
A在X中的补集：$A^c=X-A=X＼A,A\subset X$或 A c = { x ∈ X ∣ x ∉ A } A^c=\{x\in X|x\notin A\} Ac={x∈X∣x∈/​A}
注：将半角换成全角，才可以输入反斜杠，CSDN的markdown还是存在问题

有限集：集合有有限个元素
如果无限集的元素可按规律排成一列，则称为可数集
无限集必有一个可数子集

A × B = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y ∈ B } A \times B = \{(x,y)| x\in A, y\in B\} A×B={(x,y)∣x∈A,y∈B}

$A\subset R$
如果$\exists M\in A$，使得$\forall x\in A$，均有$x\le M$，则称$M$为$A$的最大数
如果$\exists m\in A$，使得$\forall x\in A$，均有$m\le x$，则称$m$为$A$的最小数
如果$\exists M\in R$，使得$\forall x\in A$，均有$x\le M$，则称$M$为$A$的上界
如果$\exists M\in R$，使得$\forall x\in A$，均有$m\le x$，则称$m$为$A$的下界
注：无限集，其最大（小）数可能不存在
注：有界数集，其上（下）界不唯一
确界定理：如果A有上界，则它有一个最小上界，称为上确界，记为$\sup A$；如果A有下界，则它有一个最大上界，称为下确界，记为$\inf A$

Newton二项式展开：$(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{a}^k{b}^{n-k}$
三角不等式：$|a+b|\le |a|+|b|$或$|a-b|\le |a-c|+|c-b|$
Cauchy不等式：$ab\le \frac{a^2+b^2}{2}$或$ab\le (\frac{a+b}{2}{)}^2$

$Z$：整数的全体
$Z^{+}$：非负整数的全体
$N$：正整数的全体
$Q$：有理数的全体

映射

集合$X$到集合$Y$的映射记作：
$f:X\to Y,y=f(x)$
或
$f:X\to Y,x\to f(x)$
其中，
$y=f(x)$为$x$在$f$下的象
$x$为$y$的一个原象（逆象）
$X$为映射$f$的定义域
$f(X)$为$f$的象的全体组成的集合，$f(X)$为$f$的值域
f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } , f ( X ) ⊂ Y f(X) = \{f(x)| x\in X \}, f(X) \subset Y f(X)={f(x)∣x∈X},f(X)⊂Y

单射：$\forall x_1\ne x_2\in X$，均有$f(x_1)\ne f(x_2)$，则称$f$为单射
满射：$\forall y\in Y$，均有$x\in X$，使得$y=f(x)$，则称$f$为满射
既是满射又是单射，则称$f$为一一满射（一一映射，可逆映射）
如果$f$是一一映射，则$f$可逆（逆映射，反函数）

如果集合$X$为可数集，则$f:X\to N$为一一映射

复合映射：$f\circ g:X\to Z,f\circ g(x)=f(g(x)),x\in X$

用复合映射来描述映射可逆：
$f:X\to Y$可逆当且仅当存在$g:Y\to X$，使得$f\circ g=i{d}_Y,g\circ f=i{d}_X$，其中，$i{d}_X,i{d}_Y$为空间映射到自身的恒同映射
$i{d}_X:X\to X,i{d}_X(x)=x$
$i{d}_Y:Y\to Y,i{d}_Y(y)=y$

[1] 数学分析讲义 梅加强
[2] Markdown-常用数学公式编辑命令 https://www.jianshu.com/p/8b6fc36035c0
[3] 基本逻辑符号与数学符号列表 http://t.csdn.cn/UNjKt
[4] 柯西-施瓦茨不等式简介 - Leweslyh的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/355277968
[5] Markdown 数学符号大全 http://t.csdn.cn/zWImw
[6] https://wanweibaike.net/wiki-實數的構造
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