对称、群论与魔术（十一）——魔术《百变箭头》等和系列总结

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在前面的文章中，我们已经引入了群的数学结构来完备地描述了以几何对称为代表的各种对称现象，并分享了很多利用这些操作的对称性来设计的魔术，相关内容请戳：

对称、群论与魔术（十）——魔术《吉普赛测试》等

对称、群论与魔术（九）——魔术《五边形的奇迹》

对称、群论与魔术（八）——魔术《tic tac toe》中的数学奇迹

对称、群论与魔术（七）——魔术《tic tac toe》的奇迹&Tally-Ho牌背秘密公开！

对称、群论与魔术（六）——经典魔术《对称找牌》

对称、群论与魔术（五）——真实扑克牌图案的对称性探索

对称、群论与魔术（四）——空白扑克卡片的对称性研究

对称、群论与魔术（三）——常见的几何对称性简介

对称、群论与魔术（二）——用群来描述对称性

对称、群论与魔术（一）——对称性本质探索

今天是本系列最后一篇，再来点稍微不一样的。前面大量直接基于操作本身的对称合理性而设计的，内部其实是通信后强行制造匹配效果的魔术（除了第一个魔术《对称找牌》是直接利用不对称性作为特征）后，最后给大家来一个所见即所得，其效果直接就是由群论语言来描述的硬核魔术。因为如果演不好的话，除了给人的感觉是无聊以外，还会犯迷糊，知道是那么回事却又讲不清楚。当然，除了学懂了群论的人除外。

先提醒一下，本篇是这个系列最后一篇，却不是对称系列的最后一篇，后续关于对称主题的发文计划，在文章末尾，敬请期待。

百变箭头

先来看表演。

视频1 百变箭头

背景介绍

这个魔术补充在这里，严格来讲不属于这个系列所谓的合理操作系列，不过却是一个很好地需要用群结构来描述和解析的作品，也符合我们前面讲到的众多几何对称的范畴，故放在这里作为一个收尾作品。这个作品的原型在马丁加德纳先生对书里有，这边魔术道具商把它扩展为一个八边形内的操作使得其真的成为一个魔术，而我为其最本质的数学逻辑配上了注脚。

在马丁加德纳的原版书中，这只是一个魔术的demo而已，只能算现象展示，还算不得真正的魔术，也只是用到了D4群内的变换。而道具的这个版本是个八边形，那变化可就一下增多了，两个箭头的关系也变得复杂起来。于是数学魔术师的工作就是挖掘其中的数学原理，并把它变成魔术。

魔术过程的群论描述

讲了一个系列的群语言和对称了，我们不妨用这些知识来拆解和描述一下这个魔术整个的行为，然后你会发现，神奇只是因为你没找到足够合适的数学工具来描述，一旦描述清楚了，就所见即所得了：

魔术用的八边形，两面等价时候看作一个D8群，那么首先以正面箭头向上作为基准，也就是幺元e，那么魔术中所经历的几个动作依次为：

1. 上下翻转后向右，做的操作相当于r ^ 4 * f操作（f是竖直对称轴的对称变换），背面箭头指向右侧为r ^ 2（r面对自己就是逆时针旋转45度，面对观众就是顺时针的），因此可以判断背面箭头的位置为r ^ 2 * f ^ - 1 * r ^ - 4 = f * r ^ 2，即它和前面e箭头的关系是：前面的翻转后顺时针旋转90度就变成它；

2. 向右调整到向下（r ^ 2操作），整个图形变成r ^ 4 * f * r ^ 2，再r ^ 4 * f操作的上下对折操作后成了r ^ - 2（反复用rfr = f的性质），于是原来向上的箭头e自然也就向左了；

3. 观众视角顺时针旋转45度一个r后，再翻转，图形变为r ^ - 1 * r ^ 4 * f = r ^ 3 * f，那背面箭头方向为 f * r ^ 5 * f = r ^ 3，刚好和原来的r  ^ - 1形成相反效果；

4. 翻转回来以后，整个图案变回r ^ - 1，那么对着它直接作一个f，背面图案会变成f * r * f = r，形成不动点的效果。（视频中因为翻转了奇数次，所以是两面都斜着朝下，如这里描述的话，偶数次的话会斜着朝上，更佳）

整个连接起来要记忆的口诀就是奇奇偶次的翻转，以及中间间隔着配合两次顺时针旋转90度和45度，即为所求。

这就是整个魔术的群描述，干净，自然，作为本系列最后一个原创魔术作品，能用这么严谨而美好的数学模型来结尾，实在是再奇妙不过了！

刘谦《幻境》

你一定以为流程这么复杂，这么硬核的数学魔术没有什么实际的魔术价值，登不上正统的魔术舞台。那你还真错了，在刘谦春晚上爆红的作品《幻镜》，有一个小步骤，我在上个系列的《对称与魔术初步（五）——刘谦经典魔术《幻境》》曾用一般语言详细讲解过，其基本原理用群论语言描述下来就是这个样子的，大家可以先回顾一下表演：

视频2 刘谦春晚《幻镜》（大概从6：35到8：25左右）

整个字的左右对称写法和镜面反射，以及旋转180度的操作，共同构成了一个Klein-4 group（在后续文字对称的系列里还会提到），那么整个过程的数学描述为：

1. 正常的字体e，偷换为左右对称的f1；

2. 旋转180度，字体变为f1 * R = f1 * f1 * f2 = f2（上下对称），但是并未给观众看到；

3. 镜面反射（关于为什么镜面反射等价于左右对称，我在《对称与魔术初步（五）——刘谦经典魔术《幻境》》里已经讲解过，后续还会有数学专题再聊）后，变成f2 * f1 = R，即观众在镜子里看到的是一个旋转了180度的正常字体，只能感受到别扭，但是很少人能反映出来具体的对称状态，如果没有严谨的数学结构建模的话；

4. 旋转180度，观众看到镜面里R * R = e的完全正常的文字；

5. 撤销镜面反射，看到手中写的反向文字R。

这就是这个魔术最本质的数学过程描述，用起来是美好的魔术表演，背地里的数学原理同样令人惊艳！

系列总结和展望

到这里，我们对称和群论的系列就打算先告一段落了。是真的只是告一段落，因为我写着写着，就发现对称相关概念涉及的魔术实在是浩如烟海，或表面，或深层来看，几乎所有数学魔术都或多或少和对称不变性这一概念有些联系。我们这里取材主要把那些主要体现这个特性的魔术拿出来供大家参考，尤其强调了对称合理操作构造巧合的这个结构。这个系列在上一个系列《对称与魔术初步（六）——魔术《4选1的诅咒》等》的基础上，引入了群的数学结构，着重讲了其在几何图形尤其是扑克牌上的应用。魔术方面，主要是三个系列的作品：

1. 对称的基本性质判别：对称找牌；
   

2. 对称的合理操作：tic tac toe，五边形的奇迹，savvi magic，吉普赛测试；

3. 群语言的现象描述：百变箭头，（幻境）

以及一些利用对称性进行的伪交代技巧。

说是3个系列，其实就是以对称合理操作为主的利用群所描述的对称性，补充上一个利用非对称性质和群本身描述能力的例子，这些是我目力所及的内容，希望日后还有新增。

不过，对称这个话题实在是浩如烟海，哪怕仅仅取其在魔术上应用的那一小部分也是一样。前面两个系列分别从对称的表面现象和群描述的本质对对称进行了讲解，接下来还有两个更加具体的主题和一个终极主题预计后面和大家见面：

1. 文字的对称性魔术

2. 完美洗牌对称性魔术

3. 数学魔术的对称性视角
   

这些东西的初稿很早就在我的作品仓库，经过多次打磨才最终呈现在你们面前，没别的，只希望把这些好东西多多的留在人间。

好了，本系列真的暂告一段落了，我们下期再见！

我们是谁：

MatheMagician，中文“数学魔术师”，原指用数学设计魔术的魔术师和数学家。既取其用数学来变魔术的本义，也取像魔术一样玩数学的意思。文章内容涵盖互联网，计算机，统计，算法，NLP等前沿的数学及应用领域；也包括魔术思想，流程鉴赏等魔术内容；以及结合二者的数学魔术分享，还有一些思辨性的谈天说地的随笔。希望你能和我一起，既能感性思考又保持理性思维，享受人生乐趣。欢迎扫码关注和在文末或公众号留言与我交流！

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