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函数f,g是定义在Rn上的可测函数,f与g的卷积记作f*g,它是其中一个函数反转,并平移后,与另一个函数的乘积的积分,是一个对平移量的函数,也就是:

对于定义在整数 Z上的函数f,g,卷积定义为

这里一样把函数定义域以外的值当成零,所以可以扩展函数到所有整数上(如果本来不是的话)。
当g(n)的支撑集(support)为有限长度M,上式会变成有限和:

卷积定理指出,函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即,一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积,例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

计算卷积的方法:
方法1:直接计算
• 作法:利用卷积的定义

若f[n]和g[n]都为实数信号,则需呀MN个乘法
若f[n]和g[n]都为更一般性的复数信号,不适用复数乘法的快速算法,会需要4MN个乘法;但若使用复数乘法的快速算法,则可以简化至3MN个乘法。因此,使用定义直接计算卷积的复杂度为O(MN)
方法2:快速傅里叶变换(FFT)
• 概念:由于两个离散信号在时域(time domain)做卷积相当于这两个信号的离散傅里叶变换在频域(frequency domain)做相乘:

可以看出在频域的计算较简单。
• 作法:因此这个方法即是先将信号从时域转成频域:

,于是

最后再将频域信号转回时域,就完成了卷积的计算,总共做了2次DFT和1次IDFT。

在信号处理中,上面的定义通常不进行归一化,即不减去均值并除以方差。当自相关函数由均值和方差归一化时,有时会被称作自相关系数
给定一个信号 f(t),连续的自相关函数
通常定义为f(t)与其自身延迟
的连续互相关。


在信号处理领域中,互相关(有时也称为“互协方差”)是用来表示两个信号之间相似性的一个度量,通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数,有时也称为“滑动点积”

• 互相关与卷积通过下式发生关系:

• 由卷积定理可推得:

卷积、自相关、互相关的可视化比较

卷积
滤波器如FIR滤波器。实际就是输入信号与系数进行卷积运算。而且根据卷积定理,时域的卷积等于频域的相差。而我们对系数进行傅里叶变化则得到了滤波器的幅频响应

相关
相关运算很多情况下用于时域位置的寻找。
移动通信中LTE信号PSS信号的查找就是复数自相关与互相关
GPS信号中的伪码捕获就是C/A码的实数自相关与互相关
GPS 1号星的C/A码PRN1的自相关特性

GPS 1号星的C/A码PRN1和GPS 1号星的C/A码PRN2的互相关特性
