线性代数 --- 四个基本子空间（个人学习笔记）

由向量张成VS用条件约束

构造子空间的方法主要有两种：

1，一种是给出一组向量，由他们来张成子空间。

例如，矩阵的列空间和行空间就是通过这种方法来构造的。

2，一种是给出子空间所应受到的约束，满足这些约束条件的向量构成了该子空间。

例如，矩阵的零空间，就是由满足齐次方程组Ax=0的解构成的，方程组Ax=0中的每一个方程都是一个约束条件。

        对于第一种方法而言，可以有多余的向量，即，线性相关的向量。对于第二种方法而言也可以有多余的约束条件。

        "下面我们逐一讨论四个基本子空间，并讨论基底的求法。我们指出，这四个基本子空间都与矩阵U有关系，我们的问题是找出他们与原矩阵A的关系。"(打引号的这句话，不仅仅是原作者的重点，也是本文的重点。)

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1，A的行空间,C for Column--- 由向量张成

补充：

行空间构造法：

        A的行空间包含了U的行空间，是用阶梯矩阵U中的r个非零行作为基底去张成的。A和U的行空间的维数相同，都为r。因为，行空间是由r个线性无关的行向量所张成的。若，r不等于m，即阶梯矩阵U中存在非零行，则A中可能存m-r个线性相关的行。

行空间的维数：

        等于阶梯矩阵U中非零行的个数，等于线性无关的行向量的个数，等于基底的个数，等于矩阵A的秩r。

2， A的零空间,N for Null --- 用条件约束

零空间的维度：

        对于任何mxn，即m个方程组，n个未知数的矩阵A而言，因为，零空间是矩阵A解的空间，因此，他是的一个子空间。他的零空间的维度=解向量的维度=未知数的个数=n，若高斯消元后的阶梯矩阵U不满秩，在U的n个列向量中，有r个主元列和n-r个自由列，n-r个自由列，对应了n-r个自由变量。则，A的零空间的维度=n-r=自由变量的个数。

零空间构造法：

        有几个自由变量，就求几个特解向量。（依次，让一个自由变量为1，其余的自由变量都为0。）用这n-r个特解向量作为基底，张成矩阵的零空间。

A的零空间也叫A的核。

3，A的列空间,C for column --- 由向量张成

补充：

 列空间的维数：

        因为，阶梯矩阵U有多少个（r个）线性无关的非零行，就有多少个（r个）线性无关的非零主元列。又因为，矩阵A中线性无关的r个列向量，不仅在数量上等于，阶梯矩阵U中线性无关的列向量，并且，两个矩阵中线性无关的列向量在各自矩阵中所处的位置也相同。由此，我们得出，A的列空间的维数等于A的秩r，因为它是由r个线性无关的列向量（即，r个基底）所张成的。而这r个线性无关的列向量在A中所处的位置，等有阶梯矩阵U中r个主元列所处的位置。（注意：对于矩阵A和矩阵U而言，他们的基底所处的位置相同，但经过高斯消元后对应位置的各列向量中的元素已经发生了改变，因此，我们再次强调，A和U的列空间不同。）

 列空间的构造法：

        A的列空间由矩阵A中的r个列向量（即，基底）所张成的。矩阵A中的r个列向量所在的位置，就是阶梯矩阵U中，非零主元列的位置。

小结：

1，A的列空间就是A的值域。

2，A的列空间不等于U的列空间，高斯消元后改变了A的列空间。

3，A和U构造基底所需的列向量所处的位置相同。阶梯矩阵U中哪几列线性无关，原矩阵A中的哪几列也线性无关。

4，定理2F可简写为，行秩=列秩。

 4，A的左零空间/的零空间 ，N for Null --- 用条件约束

左零空间的维数：

        按照零空间的定义，零空间的维数，等于解向量的维数，等于未知数的个数。回到我们之前学习的行视图与列视图，从列视图的角度看齐次方程组Ax=0，列向量x中的每一个元素（也就是未知数）就是矩阵A中每个列向量线性组合所对应的权重，而A的零空间就是能让A的各列线性组合后得到的全零列所对应的所有可能的权重x。或者说，满足Ax=0的这一约束的全部x。mxn矩阵A共有n个列向量，每个列向量对应一个权重，共n个权重（未知数），因此，A的零空间是的子空间（因为解向量x是一个n维向量，包含n个元素（即，未知数））。 

        而现在我们要求解的矩阵变成了A的转置，因此，A的零空间就变成了能够保证中各列线性组合后得到全零列的所有可能的权重x。又因为，中的列，就是A中的行，因此，我们可以认为的零空间是满足A的各行线性组合后能够生成全零行的全部x。

        现在我们把列组合模式的x=0（这里列向量x是未知数向量），变成行组合的模式，即，用行向量左乘A，即：

        转置后的，变成了nxm矩阵，共有m个列向量，共需m个未知数作为相应的权重。因此，A'的零空间或者说A的左零空间的是的子空间。

         同理，经过高斯消元后，可能会出现不满秩的情况，即出现了全零行，使得，非零行的个数矩阵的行数n。那么在全部的m个列向量中，有r个主元列和m-r个自由列。m-r个自由列，对应了m-r个自由变量。则，A的左零空间的维度=m-r=自由变量的个数。

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线性代数基本定理：

A:

 A的零空间和行空间都是的子空间。

A的左零空间和列空间都是的子空间。

B:

 翻译成中文就是：

1，A的列空间的维数等于秩r。

2，A的零空间的维数等于n-r。

3，A的行空间的维数等于r。

4，A的左零空间的维数等于m-r。

例：

 对上面这个矩阵而言，A=mxn=2x3，秩r=1

        首先，根据上面的A定理，我们知道，A的零空间和行空间都是R3的子空间。

        合理：1，A有两个方程，三个未知数。A的零空间就是A的解的空间，也就是未知数的空间，所以，是R3的子空间。2，A的行空间是A的行向量的线性组合，又因为A的每行都是包含三个元素的行向量，所以，行空间是R3的子空间。

        其次，A的左零空间和列空间都是R2的子空间。

        合理：1，A的列空间是A中各列的线性组合，A中的每行都是包含两个元素的列向量，所以，是R2的子空间。2，A的左零空间是A的转置矩阵的解空间，变成了三个方程，两个未知数。因此，是R2的子空间。

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        其次:

        1，A的列空间的维数等于秩r=1。从消元后的阶梯矩阵U中，可以看到，只有第一列有用，另外两列对于，列的线性组合，并没有贡献，所以，U的列空间C(U),只能是用列向量[1 0]所张成的一条过原点的直线。是R2中的一个一维子空间。而A的列空间需要用A中对应位置的列向量张成。

          2， A的行空间的维数等于r=1，从消元后的阶梯矩阵U中，可以发现，只有第一行对于行的线性组合有贡献。U的行空间，是用行向量[1 0 0]所张成的一条直线。是R3中的一个一维子空间。而A的行空间需要用A中的对应行向量张成。

        3，A的零空间的维数等于n-r=2。因为，消元后的阶梯矩阵U有，n-r=2个自由列，对应了两个自由变量。对自由变量取特殊值求解后，会得到两个特解向量。分别是列向量[0 1 0]和列向量[0 0 1]。这两个向量所张成的一个二维平面就是A的零空间。是R3中的一个二维子空间。

        4，A的左零空间的维数等于m-r=1。因为，A的左零空间为A的转置矩阵的零空间。又因为， 行秩=列秩，可知，转置矩阵A共有2列，因为，秩等于1，所以，只剩下一列为自由列，对应了一个自由变量，因此只能得到一个特解向量，列向量[0 1]。这一个特解向量张成了一条过零点的直线，正是A的左零空间。是R2中的一个一维子空间。

 注意：

Rank(A)<=min(m,n)

关于维度的困惑：

        简单点说，既然任何向量空间V是由向量或基底所张成的，所以，向量是几维（也就是包含几个分量）的，所张成的空间就是几维的。但，秩的出现，导致了，秩是多少，某些空间就是几维。这就让我有些迷惑了，毕竟在我看来，秩，代表了线性无关向量的个数，而不是基底或向量中元素的个数。因为，这完全是两回事。例如，一个2x3矩阵，我们来求他的列空间，他的列空间是列向量张成的，每个列向量有2维，列空间就应该是2维。但，按照秩的理论，如果有100个线性无关的列向量，那列空间岂不是就是100维。但，考虑秩的定义，秩r永远小于等于min(2,3)=2,因此，也就不存在我上面说的那种100个线性无关列向量的悖论。

        考虑上面的这个矩阵，已知，A为2x3矩阵，秩r=2。求A或U的列空间：       

        一方面，列空间的一组基底为[1 0]',[0 1]'，A的列空间是各列的线性组合，当时也是基底的线性组合。基底中的列向量所包含的元素个数为2。因此，列空间的维度为2。另一个方面，根据线性代数中关于四个基本子空间的相关定理，A的列空间的维度等于秩r，等于A中所有线性无关的列向量的个数2。(注意，这里说的是向量的个数，而不是向量中元素的个数，或者说向量的维度)

        可见，A的列空间分别从两个角度去理解，得到了相同的维度2。A的列空间充满了整个空间。

        对于A的行空间而言，一方面，行空间的基底为[1 0 0]，[0 1 0]共两个行向量，每个行向量包含的元素个数为3。因此，行空间的维度为3。另一方面，A的行空间的维度等于A的秩，又因为，列秩等于行秩，等于A中线性无关行的个数。得出，A的行空间的维数是2。

        不矛盾：秩永远小于等于min(m,n)，所以，用第二种方式求得的维数要么是第一种方式求得的维数的子空间，要么就能充满全部空间。

 （全文完）

作者 --- 松下J27

鸣谢（参考文献）：

1，线性代数及其应用，侯自新，南开大学出版社，1990.

2，Linear Algebra and Its Applications(Fourth Edition) - Gilbert Strang

格言摘抄：只要嘴巴甜，总能化到缘。(西游记动画片中猪八戒的格言)

  

（配图与本文无关）

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