• 高数 | 精通中值定理 解题套路汇总

    解题套路汇总

    套路一

     

     

    注：柯西中值定理中的 g‘(x)≠0 同时限制了两个分母 可以用反证法+罗尔

    注：一个点处的导数正负无法判断函数的单调性，但至少可以判断出这个点的去心邻域的函数值与该点本 身的函数值的大小关系。具体来说即为脱帽法。
    • 1、若f'(x_{0})>0，则f(x )在x=x_{0} 的右去心邻域的函数值比f(x_{0 })大，去心左邻域的函数值比f(x_{0 }) 小，可简记为“f'(x_{0})>0\Rightarrow左低右高”。
    • 2、若f'(x_{0})< 0有类似的结论，可简记为“f'(x_{0})<0左高右低”.

     

    利用脱帽法结论，我们可以轻松证明费马定理。
    类题：请叙述并证明费马定理、导数零点定理、导数介值定理 ( 也叫达布定理 ) .

     

     

     

     

     

     

     罗尔定理得到的根一定是单根。

     

    套路二 辅助多项式

    【注】构造{\color{Red} F(x)=f(x)-p(x)}的目的，主要是将题干中的那些“参差不齐”的函数值和导数值全部“归零”，从而使得F(x)能够不断使用罗尔定理，大大简化了问题！

    【注】设函数时，若已知零点，举例，比如二次函数：设为 {\color{Red} A(x-a)(x-b)}

     

     

     【注】回顾辅助多项式的解题过程可知，由于p(x)是n次多项式，而我们最后还是对辅助函数F(x)=f(x)-p(x)连续求了n次导，从而得到了F^{(n)}(\xi )=0，所以真正影响、决定最终结论的，只有p(x)中的最高次项的系数！而至于那些低次项都在一次次的求导过程中消失殆尽了。

    （当然，这不代表那些低次项的系数可以随便乱写，因为只有p(x)中的每一个系数都准确无误时，F(x)=f(x)-p(x)才可能出现那么多的零点和驻点，才可能满足罗尔定理的使用条件，你不能因为那些低次项的系数不影响F^{(n)}(\xi )=0，你就认为他们毫无作用，工具人也是人~）

     

     

     【注】特别注意的是，本题中p(x)和f(x)虽然有相同的最小值-1，但它们取到最小值的横坐标却不一定相同。故需要分类讨论。该思想可以应用到2007年的考研大题中！

     

     

     【注】

    前文中已经提过，在使用辅助多项式解题时，若预证结论为f^{(n)}(\xi )=k，则需要构造一个n次多项式进行拟合。由于n次多项式中有n+1个系数，所以题干中只有n个独立条件时，则无法顺利解出辅助函数中所有系数。

    为了解决这个问题，我们需要给p(x)“强行附加约束条件”，使得构造出的F(x)=f(x)-p(x)

    能够顺利解出题目。

    至于需要附加一个什么样的条件，则需要“具体问题具体分析”，不能一概而论，但核心原则是“缺什么补什么”。

     

     

     

     补充例题：

    【解答】 

    见到题目给出三个点我们很容易想到罗尔定理

     却发现这三个点不相等，那么我们会立马想到泰勒定理

    但在考研数学中不能直接使用导数介值定理(这里注意本题的题干[没给连续])，所以我们可以想到什么来规避它呢？

    构造辅助多项式：

     

     【真题】

    套路三 公式法（积分因子法）

     【注意】

    1、公式中的\int g(x)dx不需要加任意常数C，因为我们只需要找到一个辅助函数就够了。

    2、F'(\xi )=0不一定恰好就是欲证结论，有时需要再变形一下才行，但一定要注意——对F'(\xi )=0变形时，如果等式两边同时约去某个东西，或者同除某个东西，需要考虑它是否为0.

     

     

    需要分类讨论:
    ①

    如果ξ≠0，则在F'（ξ）＝0两边约去ξ，得到欲证结论；
    ②

    如果ξ=0，那说明0在区间（a,b）内部，即在定义域内部。

    又因为F（x）＝x²f（x），所以F（0）＝0，而又因为F（a）＝F（b）＝0，所以推出F有三个零点，分别是a,0,b。

    所以我们在【a,0】和【0,b】分别用罗尔定理，即可证出存在两个不为0的ξ1和ξ2，

    使得F'（ξ1）＝F'（ξ2）＝0，此时由于ξ1和ξ2不为0，所以是可以被约去。

     

     

     

     

     

    【注1】本题欲证结论为f'''(\xi )=f(\xi )，最直观的感觉就是“一阶导f'哪去了？”。所以，这种题目一般都需要认为引入一阶导f'，达到一个降阶的效果。

    【注2】本题在欲证等式两边同时减去f(\xi )，其实也可以，本质是一样的。

    【注3】若欲证结论中已经含有f',f'',f'''，则不需要再人为引入f'了，但有时需要将一阶导f'合理分配，使他们达到一种“平衡”。

    合理分配，达到平衡

     

    【注】将用这道题为例给大家展示为什么在马克总主义哲学中，会强调“真理与语误可以相互转化”，也隐藏着以后会显露出来的真理的成分或萌芽。

    其实错误的解法是由内而外拉格朗日。正确的解法是由外而内拉格朗日。

    套路四 具体问题具体分析

    虽然前面已经讲过公式法，但公式也并不是万能的，此类题我们需要观紧式子结构，去分析你要证明的结论是哪个函数求导以后的样子，然后尝试将其还原。

    总之，还原出辅助函数F(x)的过程是朝着熵减的方向前进，所以有困难是正常的！

     

     

     

     

     

     

    【注】本题应说明，分母为何不为0。

     

     

     

     

     

     

     

     

     伪双中值问题！

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    套路五 分离常数和中值，直接拉或柯西

     

     

     

    此题为上一专题 套路四的例2

     

     

     

     

    套路六 双中值定理【虚假的双中值】

     

     

     【注】以此题为例，总结出一套组合拳，通杀——

    • ① 将复杂的中值分离出来
    • ② 将其还原
    • ③ 恒等变形或带入条件
    • ④ 再用一次中值定理或柯西
    • ⑤ 战斗结束

     【三中值例题】

     

     

     

     

     套路七 【真正的双中值定理】

     

    对于结论中同时含有\xi和\eta两个中值的问题，若题干明确了\xi \neq \eta，则上面的方法无效！因为上述方法中的\xi和 \eta取自同一个区间(a,b)，所以无法保证它们不同！

    为了解决这个问题，需要在\left [ a,b\right ]中插入分段点c，将区间\left [ a,b\right ]拆分为[a,c],[c,b]，在两个区间上分别用一次中值定理，得到\xi \in (a,c),\eta \in (c,b)，由于两个区间都没有交集，自然保证了\xi \neq \eta。

     故显然，这种问题中区间分段点x=c到底选在哪里是非常重要的，我们往往需要使用待定系数法进行“倒推”，分析出分段点需要满足的条件！（但不一定两个中值点都在区间内，有可能是某个端点，如例4、类题4）

     

     

     

     

     

     

    【n中值问题】

     

     

     【例4：三个中值也可以取自两个区间】

     【补充】这些不同的中值不一定来源于不同的区间，也有可能是一个来源于开区间内部，而另外一个来源于区间端点，这类题目很有意思，比如下面这道类题。

    【类题前 铺垫一下~ 不然可能不会挖掘题目条件】

    套路八 求中值θ的极限

     套路 四部曲：重新展开，对比两式、建立等式，分离中值θ，求极限。

     

     【注】没展干净，等式两边不能同除。

     

     

     

     【例4 下面这道题，虽然也是计算 \Theta 的极限，但是由于f(x)的表达式已知，所以我们可以轻松地从题干中反解出 \Theta 的表达式，毫无难度】

    【错误解法】 

     

     【正确解法】

    套路九 泰勒中值定理

    若欲证结论中含有高阶导(二阶导以上)：一般可以采用“带拉格朗日余项的泰勒展开”进行证明。再具体操作中，最重要的是恰当的 选取展开点x_{0} 和 被展开点x 的位置。

    一般而言，选取导数信息多的点作为展开点，选取只告诉函数值的点作为被展开点。

    • 套路：
      • 有限区间：在端点展开，或在中点展开
      • 无限区间：在任意点展开

     注意：

     

     

     

    【注】

    本题需要用到 连续函数 介值定理的一个推论：

    p,q>0\rightarrow p\cdot f(x_{1})+q\cdot f(x_{2})=(p+q)\cdot f(\xi )

    其中 \xi\in [x_{1},x{_2}]，或\xi\in [x_{2},x{_1}]

    由于“导函数天生满足介值定理”，故条件中的“三阶导数连续”可以改为“三阶可导”！！

     【例2 ：极值点蕴含了导数的信息，所以常常将函数在极值点处展开】

     

     

     

     注：

    接下来的两道题，题干条件均未告知经历点处的函数值和导数值，所以也只有根据结论来猜测展开点和被展开点该如何选取。

     

     

     

     

     经验：在 “中间点”展开

    例4：在一条笔直的道路上，一辆汽车从开始启动到刹车停止，共用了单位时间走完了单位路程.。证明：至少有一个时刻，其加速度的绝对值不少与 4。

    【注】对于这种 “两个端点的函数值，导数值均已知” 的题，为了充分利用已知条件，初学者可能会选择两端点处相互展开，但这样误差会很大（因为泰勒展开本身就是估计，它要求展开点与被展开点的距离不需太大），所以采用中点在端点处展开。

    利用上面的注意事项，便可轻松秒杀下面这道题。

     

     

    【注】泰勒+任一点处展开。

    开始无穷区间咯 ~

     

    资料来自 考研竞赛凯哥 ~

    考研竞赛凯哥的个人空间_哔哩哔哩_Bilibili

    泰勒中值定理，看这个视频，足够了！！！_哔哩哔哩_bilibili

    自用 整理~

    题目源自（谢谢学长~

     0x76 - 知乎

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_47187147/article/details/125415824