目录

1.树型结构

 1.1 定义

1.2 树的表示形式

1.3 树的应用

2.二叉树定理

2.1 概念

2.2 两种特殊的二叉树

2.2 二叉树的性质

2.3 二叉树的存储

2.6 二叉树的遍历

2.7 层序遍历

1.树型结构

         

 1.1 定义

树的度 ：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

叶子节点或终端节点 ：度为 0 的节点称为叶节点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等节点为叶节点

双亲节点或父节点 ：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图： A 是 B 的父节点

孩子节点或子节点 ：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图： B 是 A 的孩子节点

根结点 ：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图： A

节点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子节点为第 2 层，以此类推

树的高度或深度 ：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为 4

非终端节点或分支节点 ：度不为 0 的节点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等节点为分支节点

兄弟节点 ：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图： B 、 C 是兄弟节点

堂兄弟节点 ：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟节点

节点的祖先 ：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图： A 是所有节点的祖先

子孙 ：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是 A 的子孙

森林 ：由 m （ m>=0 ）棵互不相交的树的集合称为森林

1.2 树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法， 孩子表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法 。

class Node {
 int value; // 树中存储的数据
 Node firstChild; // 第一个孩子引用
 Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

1.3 树的应用

多用于文件系统管理：目录和文件

2.二叉树定理

2.1 概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合或者为空，或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：

1. 每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于 2 的结点。

2. 二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都有以下情况复合而成

2.2 两种特殊的二叉树

1. 满二叉树 : 一个二叉树，如果 每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树 。也就是说， 如果 一个二叉树的层数为 K ，且结点总数是2^k - 1 ，则它就是满二叉树 。

2. 完全二叉树 : 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一 一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.2 二叉树的性质

1. 若规定 根节点的层数为 1 ，则一棵 非空二叉树的第 i 层（深度）上最多有2^i - 1  (i>0) 个结点.

2. 若规定只有 根节点的二叉树的深度为 1 ，则 深度为 K 的二叉树的最大结点数是 2^k - 1 (k>=0)

3. 对任何一棵二叉树 , 如果其 叶结点个数为 n0, 度为 2 的非叶结点个数为 n2, 则有 n0 ＝ n2 ＋ 1

4. 具有 n 个结点的完全二叉树的深度 k 为 上取整

5. 对于具有 n 个结点的完全二叉树 ，如果按照 从上至下从左至右的顺序对所有节点从 0 开始编号 ，则对于 序号为  i 的结点有 ：

若i>0 ， 双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号 ，无双亲节点

若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ，否则无左孩子

若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，否则无右孩子

2.3 二叉树的存储

二叉树的存储结构 分为： 顺序存储 和 类似于链表的链式存储

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式 ，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
 int val; // 数据域
 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
 
// 孩子双亲表示法
class Node {
 int val; // 数据域
 Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
 Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
 Node parent; // 当前节点的根节点
}

2.6 二叉树的遍历

遍历 (Traversal) 是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问 。 访问结点所做的操作 依赖于具体的应用问题 ( 比如：打印节点内容、节点内容加 1) 。 遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

1. 前序遍历 (Preorder Traversal 亦称先序遍历 )—— 根结点 ---> 根的左子树 ---> 根的右子树。

2. 中序遍历 (Inorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根节点 ---> 根的右子树。

3. 后序遍历 (Postorder Traversal)—— 根的左子树 ---> 根的右子树 ---> 根节点。

 第一颗二叉树

第二课二叉树 

在前、中、后遍历中，使用递归方法都是要打印根。

 1）前序遍历

解法一

  void preOrder(BTNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

 解法二：非递归法

void preorderNor(TreeNode root) {
        List<Integer> ret = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null || stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                //进栈
            stack.push(cur);
            //将栈元素进顺序表
            ret.add(cur.val);
            cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
        return ret;
     }

 2）中序遍历

解法一

void inOrder(BTNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }

解法二：非递归法

void inorderNor(TreeNode root) {
        List<Integer> ret = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null || stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                //进栈
            stack.push(cur);
            
            cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            //将栈顶元素进顺序表
            ret.add(top.val);
            cur = top.right;
        }
        return ret;
     }

3）后序遍历

解法一

 //后序遍历
    void postOrder(BTNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }

 解法二 ：非递归法

void inorderNor(TreeNode root) {
        List<Integer> ret = new ArrayList<>();
        Stack<TreeNode> stack = new Stack();
        TreeNode cur = root;
 
        TreeNode prev = null;
        while (cur != null || stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                //进栈
            stack.push(cur);
            
            cur = cur.left;
            }
            //读取栈顶元素
            TreeNode top = stack.peek();
            if () {
                stack.pop();
                
                ret.add(top.val);
                prev = top;
            }else {
                  cur = top.right;
            }          
        }
        return ret;
     }

注意：

知道先序遍历和 中序遍历，找后序遍历：

先从先序遍历最前面拿到根，然后拿着根在中序遍历的序列中找到此根，根的左边是左子树，根的右边是右子树。依次循环。

知道后序遍历和 中序遍历，找后序遍历：

先从后序遍历最后面拿到根，然后拿着根在中序遍历的序列中找到此根，根的左边是左子树，根的右边是右子树。依次循环。

2.7 层序遍历

  public List<List<Integer>> levelOrder(TreeNode root) {
    	List<List<Integer>> ret = new ArrayList<>();
    	if (root == null) return ret;
 
    	Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    	queue.offer(root);
    	while (!queue.isEmpty) {
    		int size = queue.size();//当前层有多少个节点
    		List<Integer> lst = new ArrayList<>();
 
    		while (size != 0) {
    			TreeNode cur = queue.poll();
    			list.add(cur.val);
    			if (cur.left != null) {
                    queue.offer(cur.left);
                }
                if (cur.right != null) {
                    queue.offer(cur.right);
                }
                size--;
    		}
    		 ret.add(list);
    	}
    	 return ret;
    }