摆

题目描述

题解

首先，我们观察一下这个矩阵，看它有什么性质，你会发现它是长这个样子的：

一个上三角的部分全部都是$C$，中线是$1$，下面有的是$C$有的是$0$。
由于矩阵上把某一行加或减在另一行上，并不会改变该矩阵行列式的值，我们不妨将每一行都减去它下一行的值，于是你会发现它变成这个样子了：

画的好丑呀
也就是一个上海森堡矩阵，右上是一个全$0$的三角，左下角$i$的倍数处为$C$，$i$的倍数减一处为$-C$。
首先对于这种海森堡矩阵，我们的行列式可以考虑从行列式的定义入手求解。
定义的方法相当于是我们枚举一个排列，计算排列的乘积。
由于排列中肯定是存在置换环的，不妨考虑单个置换环会怎么产生贡献。
显然，在这个环中肯定存在一个$i$使得$p_i>i$，而走到$p_i$后，我们的$p_{p_i}$肯定是$p_i-1$了。
因为我们的上边只存在$(i-1,i)$的点，我们往回走就只能从这个点走，再往后走就回不来了，而且往回走还每次只能走一步。
我们考虑这个环会产生怎样的贡献，走回来时是每步贡献$C-1$，走过去时每步贡献$C$，并且每个环还会贡献一个逆序对。
看起来太麻烦了，我们干脆给每个点都除去一个$C-1$，这样就相当于我们一个环贡献就直接乘上一个$\frac{C}{1-C}$。
我们定义$f_i$表示大小为$i\times i$的上海森堡矩阵的行列式，容易得到转移方程:
$$f_i=f_{i-1}+\frac{C}{1-C}\sum _{d|i\wedge d\ne i}{f}_d-f_{d-1}$$把$f_{i-1}$减到左边去，就变成了一个差分的形式，记差分的为$g_i$，有转移式：
$$g_i=\sum _{d|i\wedge d\ne i}\frac{C}{1-C}{g}_d$$显然，$g$的前缀和可以通过杜教筛求解，我们考虑将$\frac{C}{1-C}I$跟$g$卷在一起，就成了经典的杜教筛形式。
我们可以先预处理出来前$n^{\frac{2}{3}}$处的$g_i$值，后面的部分就可以$O\left(n^{\frac{2}{3}}\right)$的数论分块快速计算。
问题就是前面的$g$值也是不能暴力计算的，否则会$T$飞。
可以考虑对于$m=\prod p_i^{a_i}$，$g_m$的值显然只与集合$A$有关。
所以我们不妨考虑对于每种集合，选一个数暴力$O\left(\sqrt{m}\right)$计算。
显然，这样的集合个数是$O(P(\log m))$级别的，这部分的计算时间复杂度比较小。
当然，对于集合的存储我们可以考虑$hash$，这样就能相当快地找到它属于哪个集合了。
加上$HashMap$这部分就能线性了。
不过需要注意的是我们算出来$f_n$并不一定是答案，还要乘上我们之前除去的$(1-C{)}^{n-1}$，其中第一行没除，所以是$n-1$次方，我们的答案实际上是$(1-C{)}^{n-1}{f}_n$。

总时间复杂度$O\left(n^{\frac{2}{3}}\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
typedef unsigned int uint;
#define MAXN 20000005
#define MAXM 1000010
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int mo=998244353;
const int mod=1e6+7;
const int lim=20000000;
template<typename _T>
void read(_T &x){
   _T f=1;x=0;char s=getchar();
   while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
   while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
   x*=f;
}
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int C,w,g[MAXN],sum[MAXN],prime[MAXM*2],cntp,F[MAXM],idx;LL n,up;
int minp[MAXN],cnt[MAXN],h[MAXN],hs[30],id1[MAXM],id2[MAXM];
bool oula[MAXN];
struct HashMap{
    int val[MAXM],id[MAXM],head[MAXM],nxt[MAXM],tot;
    void insert(int ai,int aw){
        int pos=ai%mod,now=++tot;id[now]=ai;
        nxt[now]=head[pos];head[pos]=now;val[now]=aw;
    }
    int query(int ai){
        int pos=ai%mod,now=head[pos];
        while(now&&id[now]!=ai)now=nxt[now];
        return val[now];
    }
}Mp;
void init(){
    for(int i=2;i<=lim;i++){
        if(!oula[i])prime[++cntp]=i;
        for(int j=1;j<=cntp&&1ll*i*prime[j]<=lim;j++){
            oula[i*prime[j]]=1;
            minp[i*prime[j]]=j;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int getId(LL x){return x<=n/x?id1[x]:id2[n/x];}
int getF(LL x){
    int id=getId(x);if(F[id])return F[id];
    for(LL l=2,r;l<=x;l=r+1)
        r=x/(x/l),Add(F[id],1ll*(r-l+1)%mo*getF(x/l)%mo,mo);
    return F[id]=(1ll*w*F[id]+1)%mo;
}
int main(){
    //freopen("bigben.in","r",stdin);
    //freopen("bigben.out","w",stdout);
    read(n);read(C);if(!C){puts("1");return 0;}
    if(C==1){puts(n>2?"0":"1");return 0;}
    init();sum[1]=g[1]=h[1]=1;mt19937 e(time(0));up=min(n,(LL)lim);
    for(int i=1;i<=25;i++)hs[i]=prime[i];shuffle(hs+1,hs+26,e);
    w=1ll*C*qkpow(add(1,mo-C,mo),mo-2,mo)%mo;
    for(int i=25;i>1;i--)hs[i]=1ll*hs[i]*qkpow(hs[i-1],mo-2,mo)%mo;
    for(int i=2;i<=up;i++){
        if(!oula[i])h[i]=hs[cnt[i]=1];
        for(int j=1;j<=cntp;j++){
            int t=i*prime[j];if(t>up)break;minp[t]=j;
            if(i%prime[j]==0){h[t]=1ll*h[i]*hs[cnt[t]=cnt[i]+1]%mo;break;}
            else h[t]=1ll*h[i]*hs[cnt[t]=1]%mo;
        }
        g[i]=Mp.query(h[i]);
        if(!g[i]){
            g[i]=1;int ni=sqrt(i);
            for(int j=2;j<=ni;j++)if(i%j==0){
                Add(g[i],g[j],mo);
                if(j!=i/j)Add(g[i],g[i/j],mo);
            }
            g[i]=1ll*w*g[i]%mo;
            Mp.insert(h[i],g[i]);
        }
        sum[i]=add(sum[i-1],g[i],mo);
    }
    for(LL l=1,r;l<=n;l=r+1){
        r=n/(n/l);(n/l<=l?id1[n/l]:id2[l])=++idx;
        if(n/l<=lim)F[idx]=sum[n/l];
    }
    int ans=1ll*qkpow(add(1,mo-C,mo),(n-1)%(mo-1),mo)*getF(n)%mo;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}
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谢谢