雷达系统为了满足提高探测距离和距离分辨率的双重要求，就要求采用大时宽带宽积信号。脉冲压缩处理将发射的宽脉冲信号压缩成窄脉冲信号。它既可以发射宽脉冲以提高平均功率和雷达的检测能力，又能保持窄脉冲的距离分辨率。

线性调频脉冲信号的压缩处理

假设雷达发射线性调频脉冲信号，可表示为

$s_1(t)=rect(\frac{t}{T_e})cos(2\pi f_{0}t+\pi u{t}^2)$

式中，$rect(\frac{t}{T_e})=1$，$|t|\le \frac{1}{2}{T}_e$，$T_e$为发射脉冲宽度，$f_0$为中心载频，$u=\frac{B}{T_e}$为调频斜率，B为调频带宽。该信号的复包络及其离散信号(采样间隔为$T_s$)为

$s(t)\approx rect(\frac{t}{T_e})e^{j\pi u{t}^2}$

$s(n)\approx rect(\frac{n{T}_s}{T_e})e^{j\pi u(n{T}_s{)}^2}$

假定目标初始距离$R_0$对应的时延为$t_0$，即$t_0=\frac{2R_0}{c}$；目标的径向速度为$v$。若不考虑幅度的衰减，则接收信号及其相对于发射信号的时延分别为

$s_{r1}(t)=s_1(t-\Delta (t))$

$\Delta (t)=t_0-\frac{2v}{c}(t-t_0)$

其中$c$是光速。

则有，

$s_{r1}=s_1(t-t_0+\frac{2v}{c}(t-t_0))=s_1(\gamma (t-t_0))$

其中,$\gamma =1+\frac{2v}{c}$

接收信号与$cos(2\pi f_{0}t)$和$sin(2\pi f_{0}t)$分别进行混频、滤波，得到接收的基带复信号模型为

$s_r(t)=rect(\frac{\gamma (t-t_0)}{T_e})e^{j2\pi f_0(\gamma -1)(t-t_0)}{e}^{j\pi u{\gamma }^2(t-t_0)}{e}^{-j2\pi f_0{t}_0}$

由于$v<<c,y\approx 1$，目标的多普勒频率$f_d=\frac{2v}{c}{f}_0=(\gamma -1)f_0$，时延项$e^{-j2\pi f_0{t}_0}$与时间$t$无关，包络检波时为常数，因此，可简写为

$s_r(t)\approx rect(\frac{t-t_0}{T_e})e^{j2\pi f_d(t-t_0)}{e}^{j\pi u(t-t_0{)}^2}=e^{j2\pi f_d(t-t_0)}s(t-t_0)$

雷达几乎都是在数字域进行脉冲压缩的，脉冲压缩本身就是实现信号的匹配滤波，只是在模拟域一般称为匹配滤波，而在数字域称为脉冲压缩。因此，令匹配滤波器的冲激响应$h(t)=s^{\ast }(-t)$，则匹配滤波器的输出为

$s_o(t)=h(t)\ast s_r(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(u)s_r(t-u)du={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^{\ast }(-u)s_r(t-u)du$

因此，可以得到匹配滤波器的输出为

$s_o(t)=(T_e-|t-t_0|)e^{j\pi u(-t^2-t_0^2-2f_d{t}_0)}{e}^{j2\pi (u(t-t_0)f_d)(t_0+\frac{t}{2})}\bullet \frac{sin[\pi (u|t-t_0|+f_d)(T_e-|t-t_0|)]}{\pi (u|t-t_0|+f_d)(T_e-|t-t_0|)}$ ，$|t-t_0| < T_e $

其模值为

∣ s o ( t ) ∣ = ( T e − ∣ t − t 0 ∣ ) ∣ s i n c { π ( u ∣ t − t 0 ∣ + f d ) ( T e − ∣ t − t 0 ∣ ) } ∣ |s_o(t)|=(T_e-|t-t_0|)|sinc\{\pi (u|t-t_0|+f_d)(T_e-|t-t_0|)\}| ∣so​(t)∣=(Te​−∣t−t0​∣)∣sinc{π(u∣t−t0​∣+fd​)(Te​−∣t−t0​∣)}∣，$|t-t_0|<T_e $

可见，输出信号在$t=t_0+\frac{f_d}{u}$或$t=t_0-\frac{f_d}{u}$处取得最大值

脉压输出结果均具有sinc函数的包络形状，其$-4dB$主瓣宽度为$1/B$，第一旁瓣的归一化副瓣电平为$-13.2dB$。如果输入脉冲幅度为1，匹配滤波器在通带内传输系数的增益为1，则输出脉冲幅度为

$\sqrt{K{T}^2}=\sqrt{BT}=\sqrt{D}$

这里，$D=\frac{T}{1/B}=BT$，表示输入脉冲和输出脉冲的宽度比，称为压缩比。

由此可以看出，对LFM信号，匹配滤波器对回波信号的多普勒频移不敏感，因而可以用一个匹配滤波器来处理具有不同多普勒频移的信号，这将大大简化信号处理系统；另外，这类信号的产生和处理都比较容易。

现代雷达的脉冲压缩处理均采用数字信号处理的方式。实现方式有两种：当要求较小的脉压比时，经常采用时域相关的处理方式；当要求较大的脉压比时，通常利用FFT在频域实现。

由于匹配滤波器是线性时不变系统，根据傅里叶变换的性质，

F F T { h ( t ) ∗ s r ( t ) } = H ( f ) ∙ S r ( f ) FFT\{h(t)*s_r(t)\}=H(f) \bullet S_r(f) FFT{h(t)∗sr​(t)}=H(f)∙Sr​(f)

当两个信号都被正确采样时，脉冲压缩输出信号可以表示为

s o ( t ) = I F F T { H ( f ) ∙ S r ( f ) } s_o(t) = IFFT \{H(f) \bullet S_r(f)\} so​(t)=IFFT{H(f)∙Sr​(f)}

下图表示在频域实现线性调频信号数字脉冲压缩的方框图。

采用频域实现脉冲压缩方法相对于时域卷积而言，其运算量将大为减少，而且在脉冲压缩时可以利用加窗函数来抑制旁瓣，只需将匹配滤波器系数与窗函数在MATLAB中预先进行频域相乘(频域加窗)或者时域相乘(时域加窗)，即

$H(f)=FFTs(n)\bullet w(n)$

其中$w(n)$为窗函数，可以根据需要选取合适的窗函数。将其结果$H(f)$预先存入DSP的匹配滤波器系数表中，不需要增加运算量。需要注意的是，FFT/IFFT的点数不是任意选取的。假设输入信号点数为N，滤波器阶数为L，那么经过滤波后的输出信号点数对应为$N+L-1$，则对于FFT点数的选择必须保证其大于等于$N+L-1$，通常取2的幂对应的数值大于等于$N+L-1$。因此，在对滤波器系数及输入信号$s_r(n)$进行FFT之前，要先对序列进行补零处理。

假定雷达脉冲压缩处理的距离窗定义为

$R_{rec}=R_{max}-R_{min}$

其中，$R_{max}$和$R_{min}$分别表示雷达探测的最大和最小作用距离。单基地雷达在发射期间不接收，因此雷达的最小作用距离取决于发射脉冲的宽度，例如，若脉冲宽度$T_e=200us$，则$R_{min}=30km$，表明在近距离存在30km的盲区

根据奈奎斯特采样定理，对实信号而言，采样频率$f_s\ge 2B$，采样间隔$T_s\le \frac{1}{2B}$。对时宽为$T_e$的LFM信号FFT的频率分辨率为$\Delta f\le 1/T_e$，则所要求的最小样本数量为

$N_{min}=\frac{1}{T_s\Delta f}=\frac{T_e}{T_s}\ge 2T_{e}B$

因此，总共需要(2T_eB)个实样本或(T_eB)个复样本才能完全描述时宽为$T_e$、带宽为$B$的LFM波形。假定复采样间隔$T_s$对应的距离量化间隔为$\Delta R^{\prime }=\frac{T_{s}c}{2}$(通常小于或等于距离分辨率$\Delta R=\frac{c}{2B}$)，则对应的距离单元数为$N_R=\frac{R_{rec}}{\Delta R^{\prime }}$，因此，完成接收窗$R_{rec}$信号的频域脉压需要的FFT的点数为

$N=N_R+N_{min}=\frac{2R_{rec}}{T_{s}c}+\frac{T_e}{T_s}$

实际中为了更好地实现FFT，通过补零将$N$扩展为2的幂，即FFT的点数为

$N_{FFT}=2^m\ge N$，$m$为正整数

线性调频信号通过匹配滤波器后，输出压缩脉冲的包络近似为$sinc(x)$形状。其中最大的第一对旁瓣比主瓣电平小$-13.2dB$，其他旁瓣随其离主瓣的间隔按$x$按$1/x$的规律衰减，旁瓣零点间隔为$1/B$。在多目标环境中，强目标回波的旁瓣会埋没附近较小目标的主瓣，导致目标的丢失。为了提高分辨多目标的能力，必须采用旁瓣抑制或加权技术。加权可以在发射端、接收端或收、发两端上进行，分别称为单向加权或双向加权，其方式可以是频域幅度或相位加权，也可以是时域幅度或相位加权。此外，加权可在射频、中频或视频级中进行。为了使发射机工作在最佳功率状态，一般不在发射端进行加权。

代码：
代码来自于参考文献2

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clc
clear
%% =================== 参数 ======================
f0 = 10e9;       % 载波
Tp = 10e-6;      % 脉冲持续时间
B = 10e6;        % 带宽
fs = 100e6;      % 采样频率
c = 3e8;         % 光速
R0 = 3e3;        % 目标距离
k = B/Tp;        % 调频斜率
%% ================= 信号产生 =================
N = 1024*4;      % 采样点
n = 0:N-1;
Ts = 1/fs;       % 采样间隔
t = n*Ts;
f = -fs/2+ n*(fs/N);
tau_0 = 2*R0/c;  % 时延
st = rectpuls(t-Tp/2,Tp).*exp(1i*pi*k*(t-Tp/2).^2);  % 参考信号
% 回波信号
secho = rectpuls(t-tau_0-Tp/2,Tp).*exp(1i*pi*k*(t-tau_0-Tp/2).^2)*exp(-1i*2*pi*f0*tau_0); 
%% =============== 脉冲压缩 ================
Xs = fft(st,N);        % 本地副本的FFT
Xecho = fft(secho,N);  % 输入信号的FFT
Y = conj(Xs).*Xecho;   % 乘法器
Y = fftshift(Y);
y = ifft(Y,N);         % IFFT
%% ================== 画图 ======================
figure;
subplot(211);plot(t*1e6,real(st));
xlabel('Time/us');ylabel('Amplitude');
title('Real Part of Reference Signal');grid on;
subplot(212);plot(t*1e6,imag(st));
xlabel('Time/us');ylabel('Amplitude');
title('Imagine Part of Reference Signal');grid on;
figure;
subplot(211);plot(t*1e6,real(secho));
xlabel('Time/us');ylabel('Amplitude');
title('Real Part of Echo Signal');grid on;
subplot(212);plot(t*1e6,imag(secho));
xlabel('Time/us');ylabel('Amplitude');
title('Imagine Part of Echo Signal');grid on;
% ============ 频谱 =============
figure;
x1 = fftshift(Xs);
plot(f/1e6,abs(x1));
xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Amplitude');
title('Spectral of Reference Signal');grid on;
figure;
plot(f/1e6,abs(fftshift(Xecho)));
xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Amplitude');
title('Spectral of Echo Signal');grid on;
figure;
plot(f/1e6,abs(Y));
xlabel('Frequency/Hz');ylabel('Amplitude');
title('Spectral of the Result of Pulse Compression');grid on;
% ========= 脉冲压缩结果 ===========
figure;
r = t*c/2;
y = abs(y)/max(abs(y));
plot(r,(y));
xlabel('Range/m');title('Result of Pulse Compression');grid on;
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运行结果：

发射信号：

回波信号：

发射信号频谱：

回波信号频谱：

脉冲压缩后频谱：

脉冲压缩后的时域信号：

LFM信号的距离-多普勒测不准原理

∣ s o ( t ) ∣ = ( T e − ∣ t − t 0 ∣ ) ∣ s i n c { π ( u ∣ t − t 0 ∣ + f d ) ( T e − ∣ t − t 0 ∣ ) } ∣ |s_o(t)|=(T_e-|t-t_0|)|sinc\{\pi (u|t-t_0|+f_d)(T_e-|t-t_0|)\}| ∣so​(t)∣=(Te​−∣t−t0​∣)∣sinc{π(u∣t−t0​∣+fd​)(Te​−∣t−t0​∣)}∣，$ |t-t_0| < T_e $

上式表明，当$f_d\ne 0$ 或 $f_d=0$，脉冲输出结果均具有sinc函数的包络形状。只有当$f_d=0$时，包络没有平移，峰值对应于真实目标位置。而当$f_d\ne 0$时，sinc包络将产生位移，引起测距误差；而且输出脉冲幅度下降，宽度加大，信噪比和距离分辨率有所下降。

速度不影响线性调频信号的脉压处理，但是，目标的距离发生了位移。这就是线性调频信号的"测不准原理"。当目标的径向速度为$v_r$时，由于速度测不准而产生的距离误差为

${\xi }_R=-\frac{cu}{2}{f}_d=-\frac{cu}{\lambda }{v}_r$

参考文献：

1. 《现代雷达系统分析与设计》，陈伯孝
2. https://blog.csdn.net/qq_43485394/article/details/122655901