• A^2=E | 方程的解 | 这个方程究竟能告诉我们什么


    A 2 = E A^2=E A2=E

    引理一

    A 2 = E A^2=E A2=E A A A 的特征值只能是 1 1 1 − 1 -1 1

    证明:

    A A A 的特征值为 λ \lambda λ,对应的特征向量为 η \eta η。于是

    A 2 η = A A η = A λ η = λ A η = λ 2 η A^2\eta=AA\eta=A\lambda \eta=\lambda A\eta=\lambda^2\eta A2η=AAη=Aλη=λAη=λ2η

    A 2 η = E 2 η = η A^2\eta=E^2\eta=\eta A2η=E2η=η

    从而

    λ 2 = 1 \lambda^2=1 λ2=1

    引理二

    如果 A 2 = E A^2=E A2=E r ( A + E ) + r ( A − E ) = n {\rm r}(A+E)+{\rm r}(A−E)=n r(A+E)+r(AE)=n
    一些关于秩的不等式


    由引理 一二 知, A A A 的特征值为 1 1 1 − 1 -1 1,且 r ( A + E ) + r ( A − E ) = n r(A+E)+r(A-E)=n r(A+E)+r(AE)=n

    由特征向量的知识我们可以知道,特征值 1 1 1 对应的特征向量空间的维数等于 n − r ( A − E ) n-r(A-E) nr(AE),特征值 − 1 -1 1 对应的特征向量空间的维数等于 n − r ( A + E ) n-r(A+E) nr(A+E). 因为特征值只有 1 和 -1,所以 A A A 的线性无关的特征向量的个数为 n − r ( A − E ) + n − r ( A + E ) = n n-r(A-E)+n-r(A+E)=n nr(AE)+nr(A+E)=n 说明 A A A 可对角化。

    所以,存在可逆矩阵 P P P,使得

    P − 1 A P = B P^{-1}AP=B P1AP=B

    B B B 是对角矩阵,对角元由 1 1 1 − 1 -1 1 组成,共有 r ( A − E ) {\rm r}(A-E) r(AE) 1 1 1, r ( A + E ) {\rm r}(A+E) r(A+E) − 1 -1 1

    所以 A A A 是可以写作 P B P − 1 PBP^{-1} PBP1 的任意一个矩阵。其中 B = d i a g ( 1 , 1 , ⋯   , 1 , − 1 , − 1 , ⋯   , − 1 ) B={\rm diag}(1,1,\cdots,1,-1,-1,\cdots,-1) B=diag(1,1,,1,1,1,,1) r ( A − E ) {\rm r}(A-E) r(AE) 1 1 1, r ( A + E ) {\rm r}(A+E) r(A+E) − 1 -1 1 P P P 为任意可逆矩阵。

    事实上,设 A = P B P − 1 A=PBP^{-1} A=PBP1,则 A 2 = P B P − 1 P B P − 1 = P B B P − 1 = P E P − 1 = E A^2=PBP^{-1}PBP^{-1}=PBBP^{-1}=PEP^{-1}=E A2=PBP1PBP1=PBBP1=PEP1=E


    2022年6月22日19:09:22

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  • 原文地址:https://blog.csdn.net/Infinity_07/article/details/125414936