数组的最小不可组成和问题

作者：Grey

原文地址：数组的最小不可组成和问题

题目说明#

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/296c2c18037843a7b719cf4c9c0144e4
来源：牛客网

给定一个全是正数的数组arr，定义一下arr的最小不可组成和的概念：

1，arr的所有非空子集中，把每个子集内的所有元素加起来会出现很多的值，其中最小的记为min，最大的记为max；

2，在区间[min,max]上，如果有一些正数不可以被arr某一个子集相加得到，那么这些正数中最小的那个，就是arr的最小不可组成和；

3，在区间[min,max]上，如果所有的数都可以被arr的某一个子集相加得到，那么max+1是arr的最小不可组成和；

举例： arr = {3,2,5}

arr的min为2，max为10，

在区间[2,10]上，4是不能被任何一个子集相加得到的值中最小的，所以4是arr的最小不可组成和；

arr = {3,2,4}

arr的min为2，max为9，

在区间[2,9]上，8是不能被任何一个子集相加得到的值中最小的，所以8是arr的最小不可组成和；

arr = {3,1,2} arr的min为1，max为6，

在区间[2,6]上，任何数都可以被某一个子集相加得到，所以7是arr的最小不可组成和；

请写函数返回arr的最小不可组成和。

思路#

首先我们设置两个变量，max和min用于记录数组累加得到的最大值，和当数组不为空累加得到的最小值。那么在数组非空状态下，累加和一定在[min, max]区间内。我们设置

boolean[][] dp = new boolean[arr.length][max + 1];

其中dp[i][j]表示[0....i]范围内的元素任意累加，能否组成j这个累加和

显然有

// 0元素可以组成arr[0]这个累加和
dp[0][arr[0]] = true;

for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
     // 0..i上一个元素都不用，可以组成0这个累加和
     dp[i][0] = true;
}

这样我们得到dp这个数组第一行和第一列的情况。

然后我们可以推导普遍位置

dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);

其含义为：

[0...i]范围内，任意选择，能否组成j这个累加和，其实包括了两种情况：

情况1：[0...i-1]范围内，任意选择，能否组成j这个累加和，如果可以，说明dp[i][j]=true

情况2：[0...i-1]范围内，任意选择，能否组成j-arr[i]这个累加和（注意不能越界），如果可以，说明dp[i][j] = true

所以，普遍位置的求法如下

        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < max + 1; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);
            }
        }

经过上述处理，dp已全部填好，接下来就是判断dp中第一个为false的位置，即为答案

        for (int i = min; i <= max; i++) {
            if (!dp[arr.length - 1][i]) {
                return i;
            }
        }

如果上述过程没有找到，则返回max+1，完整代码如下

    public static int getFirstUnFormedNum(int[] arr) {
        int min = arr[0];
        int max = arr[0];
        for (int i = 1; i < arr.length; i++) {
            max += arr[i];
            min = Math.min(min, arr[i]);
        }
        // 可以到的范围是[min,max]
        // dp[i][j] 0....i能否组成j
        boolean[][] dp = new boolean[arr.length][max + 1];
        // 第0行 除了下述位置，其他位置都是false
        dp[0][arr[0]] = true;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            // 0..i上一个元素都不用，可以组成0这个累加和
            dp[i][0] = true;
        }
        for (int i = 1; i < dp.length; i++) {
            for (int j = 1; j < max + 1; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || (j - arr[i] >= 0 && dp[i - 1][j - arr[i]]);
            }
        }
        for (int i = min; i <= max; i++) {
            if (!dp[arr.length - 1][i]) {
                return i;
            }
        }
        return max + 1;
    }

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