【学习笔记】计算几何

基础知识

向量

概念：有大小和方向的量
基础算法：
（1）加：(A.x+B.x,A.y+B.y)(A.x+B.x,A.y+B.y)
（2）减：(A.x−B.x,A.y−B.y)(A.x−B.x,A.y−B.y)
（3）乘常数：(A.x∗k,A.y∗k)(A.x∗k,A.y∗k)
（4）点积：A·B=|A||B|cosθ=A.x∗B.x+A.y∗B.yA⋅B=|A||B|cosθ=A.x∗B.x+A.y∗B.y
（5）叉积：A×B=|A||B|sinθ=A.x∗B.y−A.y∗B.xA×B=|A||B|sinθ=A.x∗B.y−A.y∗B.x

基础算法

（1）旋转：将 (x,y)(x,y) 逆时针旋转 θθ 就是 (x∗cosθ−y∗sinθ,x∗sinθ+y∗cosθ)(x∗cosθ−y∗sinθ,x∗sinθ+y∗cosθ)
（2）把向量 A 转到与向量 B 同向：B∗|A||B|
（3）求多边形面积：12|∑n−1i=1Pi×P(i+1)%n|
（4）以 A 为原点 B 为单位点求 P 的新坐标：(→AB·→AP,→AB×→AP)∗1|AB|2
（5）P 与直线 AB 的位置关系：根据 →AB×→AP
（6）点 P 在直线 AB 上的投影：A+→AB∗(→AB·→AP)|AB|2
（7）点与线段的位置关系：判断与线段所在直线的位置关系、点积判断在哪里
（8）AB//CD：→AB×→CD=0
（9）直线 AB 和直线 CD 求交点：A+→AB∗→CD×→CA→AB×→CD
（10）线段与直线求交点：线段两端点在直线两侧、直线求交点

凸包

Graham 扫描法

求凸包：
（1）找到所有的点中最左下角的点，并加入栈中
（2）将所有点按极角排序逆时针
（3）每次找到一个点，判断该点是否在最后这条边的右边，若是则弹出栈顶，直到不能弹出就加入栈里
求下凸壳：
按横坐标从小到大排序，然后执行上文 （3）
求上凸壳：
按横坐标从大到小排序，然后执行上文（3）

旋转卡壳

本质：固定一个点，所求与另一个点的位置呈单峰函数且峰值关于固定点单调的算法

例题：

题目描述：
求解凸多边形的直径。直径的定义为凸多边形上两点间距离的最大值。
解法：
（1）任意选择一个点为固定点
（2）以固定点在逆时针顺序下的下一个点为第二个点
（3）因为这两点间的距离与第二个点的位置呈单峰函数，且峰值关于固定点单调，所以就按逆时针方向移动第二个点
（4）移动到最大距离处，计算贡献，并按逆时针方向移动固定点，不移动第二个点
（5）重复（3）直到移动结束
例如下图所示：

先随机找到固定点 A，与对应的第二个点 B

移动 B ，使得 A 与 B 两点间距离最大

保持 B 不动，移动 A
然后再按照上文的方法一直循环执行

圆

点与圆

判断点是否在圆上： d≤r
d=|PC|,r=r ∠DAC=arccos(rd),∠DAC=(arcsinrd)

直线与圆

根据叉积得到 d
|MA|=|MB|=√r2−d2，∠OBM=arccosdr

圆与圆

是否相交

根据 d 与 r1+r2

不交圆外公切线

k=r2−r1,∠CAB=arccosr2−r1d,∠DBA=arccosr1−r2d

不交圆内公切线

∠BAG=∠ABF=arcsinr1+r2d