一、理论基础

1、哈里斯鹰优化算法

请参考这里。

2、改进哈里斯鹰优化算法

相对其它元启发式算法，HHO算法也存在种群多样性下降、易陷入局部寻优等问题，文献[1]从三方面对基本HHO算法进行改进。首先引入正态云模型来提高算法的种群多样性，其次为了提高全局搜索能力，对全局最差值进行反向学习，最后引入动态扰动策略，进而提高算法的局部开发能力。

（1）正态云模型

云模型由期望$Ex$、熵$En$和超熵$He$三个参数进行描述，正态云模型中云滴的分布情况与数字参数的关系如图2所示，可以看出当$En$增大时，云滴分布范围随之变大，当$He$增大时，云滴的离散程度同步增大，侧面反映云滴分布的随机性和模糊性。正向正态云发生器是产生基本服从正态分布云滴的一种算法，通过设定的参数来产生云滴，直到生成期望的云滴数量。正态云滴生成过程可定义为如下所示：$$\mathbf{X}=[x_1,x_2,\cdots ,x_{Nd}]=Gnc(Ex,En,He,Nd)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中，$Nd$为期望云滴个数。

图1 云滴正态分布模型图

文献[1]引入正态云模型作为哈里斯鹰位置新的更新机制。通过正态云模型的期望值$Ex$对最优位置解进行开发，通过$En$调控其余位置解，利用$He$调整哈里斯鹰位置离散程度，公式如下所示：$$Position=Gnc(Positio{n}_{best},En,He,dim)\text{\hspace{1em}(2)}$$$$En=\lambda \times {\left(\frac{T-t}{T}\right)}^{\tau }\text{\hspace{1em}(3)}$$$$He=En\times 10^{-\xi }\text{\hspace{1em}(4)}$$其中，$Positio{n}_{best}$为当前种群最优位置；$dim$为问题空间维度；$\lambda =0.3$，$\tau =2$，$\xi =2$；$t$为当前迭代次数，$T$为最大迭代次数。

（2）随机反向学习思想

引入随机反向学习思想对最差哈里斯鹰位置进行更新，公式如下所示：$${\mathbf{X}}_{worst,t+1}=u{b}_1+rand\times (l{b}_1-{\mathbf{X}}_{worst,t})\text{\hspace{1em}(5)}$$其中，${\mathbf{X}}_{worst,t}$表示最差哈里斯鹰位置，$u{b}_1$和$l{b}_1$分别为动态边界的上下界。
随着算法迭代，通过式(5)对位置最差值进行更新，得到反向随机解，从而提高哈里斯鹰种群多样性和寻得全局最优解几率。同时随机反向学习采用动态边界$u{b}_1$和$l{b}_1$，降低了传统的固定边界$ub$和$lb$易丢失搜索信息的问题，也降低了改进算法的计算复杂度。

（3）动态扰动策略

当猎物能量$|E|<1$时，算法进入开发阶段，但无法保证此时种群都接近全局最优，可能会导致收敛太早以及陷入局部寻优。因此，在4种捕食策略中引入了一种动态扰动策略，在保证算法寻优精度的基础上能迅速跳出局部寻优。$$\psi =-\cos (\frac{\pi t}{2T}+\pi )\text{\hspace{1em}(6)}$$$${\mathbf{X}}_{\psi ,rabbit}=\psi \times {\mathbf{X}}_{rabbit}\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$\psi$为扰动系数；${\mathbf{X}}_{\psi ,rabbit}$为加入扰动后的猎物位置。

（4）改进算法的流程

改进哈里斯鹰算法(IHHO)的算法流程图如图2所示：

图2 IHHO流程图

二、仿真实验与结果分析

将IHHO与GSA、SCA、GWO、WOA和HHO进行对比，以文献[1]中表2的所有测试函数为例，其中F1~F12为30维、F13、F14和F15分别为2维、4维、2维，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：

函数：F1
GSA：最差值: 0.0045546, 最优值: 1.2502e-16, 平均值: 0.00015182, 标准差: 0.00083155, 秩和检验: 1.2118e-12
SCA：最差值: 59.0097, 最优值: 0.12527, 平均值: 16.34, 标准差: 17.3623, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 9.3775e-27, 最优值: 1.3536e-29, 平均值: 1.0911e-27, 标准差: 1.9111e-27, 秩和检验: 1.2118e-12
WOA：最差值: 3.826e-72, 最优值: 1.7013e-85, 平均值: 2.1869e-73, 标准差: 8.2705e-73, 秩和检验: 1.2118e-12
HHO：最差值: 2.5177e-95, 最优值: 7.1162e-120, 平均值: 8.8841e-97, 标准差: 4.5926e-96, 秩和检验: 1.2118e-12
IHHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F2
GSA：最差值: 3.8074, 最优值: 5.0284e-08, 平均值: 0.70452, 标准差: 1.0518, 秩和检验: 3.0199e-11
SCA：最差值: 0.3921, 最优值: 5.9339e-05, 平均值: 0.02533, 标准差: 0.071155, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 2.2658e-16, 最优值: 3.0661e-17, 平均值: 8.9205e-17, 标准差: 5.2599e-17, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 7.3229e-50, 最优值: 5.5231e-58, 平均值: 4.4275e-51, 标准差: 1.6787e-50, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 5.374e-49, 最优值: 3.5498e-58, 平均值: 2.8737e-50, 标准差: 1.096e-49, 秩和检验: 3.0199e-11
IHHO：最差值: 2.3096e-208, 最优值: 2.791e-221, 平均值: 9.0607e-210, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F3
GSA：最差值: 1944.7099, 最优值: 389.3067, 平均值: 896.5983, 标准差: 336.2956, 秩和检验: 1.7203e-12
SCA：最差值: 18579.3827, 最优值: 2116.1679, 平均值: 8698.8272, 标准差: 5127.1473, 秩和检验: 1.7203e-12
GWO：最差值: 0.00015189, 最优值: 2.2199e-08, 平均值: 1.4419e-05, 标准差: 3.0819e-05, 秩和检验: 1.7203e-12
WOA：最差值: 62916.0107, 最优值: 25640.3867, 平均值: 44282.6191, 标准差: 11405.5964, 秩和检验: 1.7203e-12
HHO：最差值: 1.8471e-73, 最优值: 2.3092e-99, 平均值: 6.924e-75, 标准差: 3.3685e-74, 秩和检验: 1.7203e-12
IHHO：最差值: 1.0474e-321, 最优值: 0, 平均值: 3.4585e-323, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F4
GSA：最差值: 13.7884, 最优值: 3.9381, 平均值: 7.2787, 标准差: 2.6003, 秩和检验: 3.0199e-11
SCA：最差值: 55.975, 最优值: 21.462, 平均值: 38.661, 标准差: 9.1469, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 3.8361e-06, 最优值: 1.0021e-07, 平均值: 8.6335e-07, 标准差: 9.6271e-07, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 87.2132, 最优值: 2.3821, 平均值: 48.6596, 标准差: 27.1834, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 5.6826e-47, 最优值: 3.4375e-58, 平均值: 1.9156e-48, 标准差: 1.0371e-47, 秩和检验: 3.0199e-11
IHHO：最差值: 2.8905e-175, 最优值: 8.9028e-183, 平均值: 1.1303e-176, 标准差: 0, 秩和检验: 1
函数：F5
GSA：最差值: 4.1219e-05, 最优值: 9.0972e-17, 平均值: 1.3744e-06, 标准差: 7.5255e-06, 秩和检验: 1.7769e-10
SCA：最差值: 68.5103, 最优值: 4.5866, 平均值: 15.7245, 标准差: 16.2744, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 1.5079, 最优值: 0.20233, 平均值: 0.77227, 标准差: 0.4311, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.97515, 最优值: 0.073161, 平均值: 0.33165, 标准差: 0.22109, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 0.00081236, 最优值: 5.5382e-07, 平均值: 0.00013062, 标准差: 0.00017754, 秩和检验: 0.042067
IHHO：最差值: 0.00025785, 最优值: 2.3985e-07, 平均值: 5.8071e-05, 标准差: 6.7081e-05, 秩和检验: 1
函数：F6
GSA：最差值: 8.264, 最优值: 0.05645, 平均值: 0.90216, 标准差: 2.1799, 秩和检验: 3.0199e-11
SCA：最差值: 0.28354, 最优值: 0.0074432, 平均值: 0.068854, 标准差: 0.066168, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 0.0059689, 最优值: 0.00039422, 平均值: 0.0020041, 标准差: 0.0012564, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.028787, 最优值: 9.1477e-05, 平均值: 0.0035256, 标准差: 0.0055824, 秩和检验: 2.3715e-10
HHO：最差值: 0.00054911, 最优值: 2.9214e-05, 平均值: 0.00021613, 标准差: 0.00015527, 秩和检验: 0.0018575
IHHO：最差值: 0.00027148, 最优值: 5.4621e-06, 平均值: 9.401e-05, 标准差: 6.334e-05, 秩和检验: 1
函数：F7
GSA：最差值: -1853.6719, 最优值: -3273.9184, 平均值: -2521.258, 标准差: 336.1498, 秩和检验: 3.0199e-11
SCA：最差值: -3349.2729, 最优值: -4426.997, 平均值: -3763.4934, 标准差: 260.0935, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: -4950.0262, 最优值: -7051.6834, 平均值: -6106.7788, 标准差: 560.9537, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: -7349.6408, 最优值: -12568.569, 平均值: -10431.9581, 标准差: 1779.1426, 秩和检验: 4.9752e-11
HHO：最差值: -12344.6804, 最优值: -12569.4846, 平均值: -12553.8646, 标准差: 55.8521, 秩和检验: 0.19579
IHHO：最差值: -12566.7388, 最优值: -12569.4862, 平均值: -12568.9544, 标准差: 0.744, 秩和检验: 1
函数：F8
GSA：最差值: 50.7428, 最优值: 17.9093, 平均值: 33.3311, 标准差: 8.3439, 秩和检验: 1.2108e-12
SCA：最差值: 108.3087, 最优值: 0.0027198, 平均值: 46.0015, 标准差: 31.9594, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 17.2791, 最优值: 5.6843e-14, 平均值: 2.6202, 标准差: 4.3159, 秩和检验: 1.1211e-12
WOA：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
HHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
IHHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F9
GSA：最差值: 2.2275e-08, 最优值: 7.4708e-09, 平均值: 1.2451e-08, 标准差: 3.5063e-09, 秩和检验: 1.2118e-12
SCA：最差值: 20.3369, 最优值: 0.012916, 平均值: 11.2623, 标准差: 9.3238, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 1.3589e-13, 最优值: 7.5495e-14, 平均值: 9.8469e-14, 标准差: 1.4385e-14, 秩和检验: 1.1313e-12
WOA：最差值: 7.9936e-15, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 4.204e-15, 标准差: 2.6279e-15, 秩和检验: 3.5235e-08
HHO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
IHHO：最差值: 8.8818e-16, 最优值: 8.8818e-16, 平均值: 8.8818e-16, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F10
GSA：最差值: 47.2296, 最优值: 13.6912, 平均值: 27.8027, 标准差: 7.8132, 秩和检验: 1.2118e-12
SCA：最差值: 1.4451, 最优值: 0.13842, 平均值: 0.90577, 标准差: 0.28893, 秩和检验: 1.2118e-12
GWO：最差值: 0.02696, 最优值: 0, 平均值: 0.0059203, 标准差: 0.0089161, 秩和检验: 0.00066167
WOA：最差值: 0.17111, 最优值: 0, 平均值: 0.0057038, 标准差: 0.031241, 秩和检验: 0.33371
HHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
IHHO：最差值: 0, 最优值: 0, 平均值: 0, 标准差: 0, 秩和检验: NaN
函数：F11
GSA：最差值: 3.8485, 最优值: 2.4569e-18, 平均值: 2.0262, 标准差: 1.0811, 秩和检验: 5.5727e-10
SCA：最差值: 6254333.2141, 最优值: 0.80267, 平均值: 532197.1197, 标准差: 1617191.5102, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 0.083781, 最优值: 0.0066691, 平均值: 0.039017, 标准差: 0.016777, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.10715, 最优值: 0.0019401, 平均值: 0.025678, 标准差: 0.023561, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 2.2823e-05, 最优值: 2.3548e-09, 平均值: 5.3096e-06, 标准差: 5.6489e-06, 秩和检验: 0.093341
IHHO：最差值: 1.7952e-05, 最优值: 1.2162e-07, 平均值: 2.9251e-06, 标准差: 4.0458e-06, 秩和检验: 1
函数：F12
GSA：最差值: 19.7181, 最优值: 2.1669e-17, 平均值: 7.7376, 标准差: 5.5037, 秩和检验: 5.5727e-10
SCA：最差值: 2065701.0386, 最优值: 3.3017, 平均值: 102002.0685, 标准差: 382413.4593, 秩和检验: 3.0199e-11
GWO：最差值: 1.2598, 最优值: 0.31876, 平均值: 0.7279, 标准差: 0.21955, 秩和检验: 3.0199e-11
WOA：最差值: 0.98709, 最优值: 0.20248, 平均值: 0.49069, 标准差: 0.2026, 秩和检验: 3.0199e-11
HHO：最差值: 0.00026565, 最优值: 3.79e-07, 平均值: 7.3483e-05, 标准差: 7.3682e-05, 秩和检验: 0.0076171
IHHO：最差值: 0.00012306, 最优值: 1.5545e-08, 平均值: 3.143e-05, 标准差: 3.5177e-05, 秩和检验: 1
函数：F13
GSA：最差值: 18.306, 最优值: 0.99834, 平均值: 5.0289, 标准差: 3.9373, 秩和检验: 3.0199e-11
SCA：最差值: 2.9821, 最优值: 0.998, 平均值: 1.6277, 标准差: 0.91956, 秩和检验: 3.3384e-11
GWO：最差值: 10.7632, 最优值: 0.998, 平均值: 3.5504, 标准差: 3.4834, 秩和检验: 0.079782
WOA：最差值: 10.7632, 最优值: 0.998, 平均值: 3.5137, 标准差: 3.755, 秩和检验: 2.4327e-05
HHO：最差值: 5.9288, 最优值: 0.998, 平均值: 1.3943, 标准差: 0.95625, 秩和检验: 0.05746
IHHO：最差值: 0.998, 最优值: 0.998, 平均值: 0.998, 标准差: 1.1735e-07, 秩和检验: 1
函数：F14
GSA：最差值: 0.01989, 最优值: 0.0015053, 平均值: 0.0096665, 标准差: 0.0049644, 秩和检验: 3.0199e-11
SCA：最差值: 0.0016154, 最优值: 0.00043094, 平均值: 0.00097542, 标准差: 0.00037604, 秩和检验: 6.0658e-11
GWO：最差值: 0.020363, 最优值: 0.00030755, 平均值: 0.0043729, 标准差: 0.0081321, 秩和检验: 0.34029
WOA：最差值: 0.0022368, 最优值: 0.00031543, 平均值: 0.00076058, 标准差: 0.00050344, 秩和检验: 5.8587e-06
HHO：最差值: 0.0005096, 最优值: 0.00030753, 平均值: 0.0003193, 标准差: 3.6312e-05, 秩和检验: 5.4617e-09
IHHO：最差值: 0.00069898, 最优值: 0.00030965, 平均值: 0.00038304, 标准差: 7.2091e-05, 秩和检验: 1
函数：F15
GSA：最差值: 0.39789, 最优值: 0.39789, 平均值: 0.39789, 标准差: 0, 秩和检验: 1.2118e-12
SCA：最差值: 0.4062, 最优值: 0.39797, 平均值: 0.39984, 标准差: 0.0019692, 秩和检验: 8.1014e-10
GWO：最差值: 0.39789, 最优值: 0.39789, 平均值: 0.39789, 标准差: 6.9688e-07, 秩和检验: 2.1959e-07
WOA：最差值: 0.39792, 最优值: 0.39789, 平均值: 0.39789, 标准差: 8.1726e-06, 秩和检验: 0.00025306
HHO：最差值: 0.39789, 最优值: 0.39789, 平均值: 0.39789, 标准差: 3.5565e-07, 秩和检验: 1.411e-09
IHHO：最差值: 0.40111, 最优值: 0.39789, 平均值: 0.39802, 标准差: 0.00058353, 秩和检验: 1
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实验结果表明：提出的改进哈里斯鹰算法收敛速度更快，寻优精度更高，验证了改进策略的有效性。

三、参考文献

[1] 张帅, 王俊杰, 李爱莲, 等. 集成正态云和动态扰动的哈里斯鹰优化算法[J/OL]. 小型微型计算机系统: 1-11 [2022-05-25].