算术入门1-实数

前言：
广州疫情最近有点严重，回不去学校了。在家连不上系统，于是梳理一下学过的数学内容。大概有20章，尽量做到每天更新。

格式约定：

这是正文。

这是引用，导言或注释

斜体只是调侃，没有实际意义

---

数#

从远古时代人们就发明了“数”的概念，主要用于计数。

什么是“数”？为什么 1+1=21+1=2？这是如何定义出来的？

简单来说，数是一种算术对象。确定的运算的对象构成的集合称为数集，数集中的元素称为数(numbers)。

我们可以用字母来表示一个数（已知的或未知的、变量或常量），例如

a,b,x,y,z

a,b,x,y,z

都可以是数。

加法#

加法是定义的产物。一加一之所以等于二，不是因为一个苹果和一个苹果得到两个苹果，而是因为定义如此。

数学就像一种宗教，而非科学。你输入两个数，把它们相加，然后你就得到了一个全新的数，这就像魔法——你要么全信，要么全不信。

加法是一种二元运算(binary operator)，也就是说加法运算接受两个数作为输入(input)，得到一个数作为输出(outout)。书写上，我们在输入的两个数之间用加号(plus notation)连接。因此抽象的加法就是

a+b=c

a+b=c

加法单位元#

00 是如何定义的？

进行加法运算时，我们注意到有一类数 xx，使得

a+x=a

a+x=a

即（通俗的说）这个数加别的数等于那个数。我们把这样的 xx 称为加法单位元，记作 00。

由此我们定义了 00，数轴的原点被确定了。

搞这么复杂，你是法国小学生吗？学这些对搬砖有什么价值？

乘法#

乘法拥有巧妙的组合意义，比如 33 乘 55 是 55 个 33 相加。这也是我们小学定义乘法的唯一目的。

但组合意义是乘法的本质吗？如果不是，又该如何定义乘法？

乘法是一种二元运算，接受两个数作为输入，得到一个数作为输出。书写上，我们在输入的两个数之间用空格（空格在不产生歧义的情况下可以省略）连接。因此抽象的乘法就是

ab=c

ab=c

使用何种乘号？

一般而言，乘法的书写有三种：a×ba×b，a⋅ba⋅b 和 abab。

在表达两个数（标量）相乘时，我建议使用第三种，因为叉乘记号(cross product notation，××)和点乘记号(dot probduct notation，⋅⋅)，在向量运算时已经有明确的（不同的）含义了。

因此以后我们统一使用空格作为标量乘法的记号，例如三乘以五记作 3 5=153 5=15，手写时可以使用 3(5)=153(5)=15。

乘法单位元#

什么是 11？什么是 22？自然数是如何被定义的？

进行乘法运算时，我们注意到有一类数 xx，使得

ax=a

ax=a

即（通俗的说）这个数乘别的数等于那个数。我们把这样的 xx 称为乘法单位元，记作 11。

由此我们定义了 11，数轴的原点被确定了。

所以搞了半天你连 1,2,3,⋯1,2,3,⋯ 这些最基本的算术单元都没有说吗？

自然数#

我们费尽心机终于定义了两个数（0,10,1），可是还有无穷无尽的数没有定义呢！

自然数集（记作 N）是由皮诺亚公理定义的集合，这一般是算术学家（你说的这个算术学家，是指小学生吗？）接触的第一个数集。

皮诺亚公理（简化版）

1. 0 是一个自然数。
2. 如果 a 是一个自然数，则 a+1 也是一个自然数，称之为 a 的后继数。即 ∀a∈Na+1∈N
3. 0 不是任何数的后继数。即 ∀a∈Na+1≠0
4. 不同的自然数有不同的后继数。即 ∀a∈Na+1≠a
5. 自然数集只包括上述四条所述的数。形式化的说，设 S 是 N 的子集，满足上述四条的性质（将自然数替换为 S 中的元素），则 S=N。

记号 ∀

∀ 形象是一个倒过来的 A，取自英文单词 any，表示对于任意一个。例如

∀a≤10a≤5

表示对于每个小于等于 10 的数 a，都有 a 小于等于 5。

∀ 的 LATEX 代码为 \forall

值得一提的是，我们给每个自然数设计有记号，2=1+1,3=2+1,4=3+1,⋯。

戴德金-皮亚诺结构

一个戴德金-皮亚诺结构为一满足下列条件的三元组(X, x, f)：

1. X 是一集合，x 为 X 中一元素，f 是 X 到自身的映射；
2. x 不在 f 的像集内；
3. f 为一单射。
4. 若 A 为 X 的子集并满足 x 属于 A，且若 a 属于 A，则 f(a) 亦属于 A，则 A=X。

加法结合律#

小学时好像是先学交换律才学结合律的呀？但是交换律的证明需要先证明结合律……

定理1.1 自然数加法满足结合律，即 ∀a,b,c∈N(a+b)+c=a+(b+c)

证明:

1. 当 a=0 时，(0+b)+c=b+c=0+(b+c)
2. 假如 a=k 时原定理成立，则对于 a=k+1，有
   a+b+c=(k+1+b)+c=((k+b)+1)+c=((k+b)+c)+1=(k+(b+c))+1=k+1+(b+c)=a+(b+c)

   当 x=k+1 时原定理成立。

由上述两条可推理出，原定理恒成立。◼

加法交换律#

定理1.2 自然数加法满足交换律，即 ∀a,b∈Na+b=b+a

在证明之前，我们需要先证明两个引理：

引理1.3 ∀x∈N0+x=x

证明：

1. 当 x=0 时，0+x=0+0=0
2. 假如当 x=k 时原引理成立，则当 x=k+1 时，0+x=0+k+1=(0+k)+1=k+1=x，即当 x=k+1 时原引理成立。

由上述两条可推理出，原引理恒成立。◼

引理1.4 ∀x∈N1+x=x+1

证明：

1. 当 x=0 时，1+0=1=0+1
2. 假如当 x=k 时原引理成立，则当 x=k+1 时，1+k+1=(1+k)+1=(k+1)+1，即当 x=k+1 时原引理成立。

由上述两条可推理出，原引理恒成立。◼

证明定理1.2：

1. 当 a=0 时，0+b=b=b+0
2. 假如当 a=k 时原引理成立，则当 a=k+1 时，a+b=k+1+b=k+b+1=b+k+1，即当 x=k+1 时原引理成立。

由上述两条可推理出，原定理恒成立。◼

通项归纳法

让我们想想多米诺骨牌排成一行，那么我们只要把任意一张排推到，那么在这张牌之后的每一张派都会被因连锁反应而被前一张牌推到。即使在此之后的有无穷张多米诺骨牌，它们也终会全部倒下。这使我们战胜了无限。

这种方法在数学上被称为通项归纳法(mathematical induction)，上面的几个证明都使用了这个方法。

让我们再举一个例子，令

Sn=02+12+22+32+⋯+n2

求证：

Sn=16n(n+1)(2n+1)

证明：

1. 第一步：
   S0=02=0=0(0+1)(2 0+1)6

   即，当 n=0 时，等式成立。

2. 第二步：我们现在假设当 n=k 的时候原等式成立。
   即现在证明当 n=k+1 时成立。具体而言，是这样做的：
   Sk+1=Sk+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k2+2k+1)=2k3+9k2+13k+66=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)6

   由此得证，若 n=k 时等式成立，则当 n=k+1 时等式成立。
   而当 n=0 时等式成立，则对于 ∀n≥0，原等式成立。◼

这里的“第一张多米诺骨牌”正是"n=0 时成立"，而第二步的证明中则把“牌”排了起来。于是无限的“牌”全部倒了。通项归纳法可以说是数学证明中的“万金油”。

整数#

自然数集是不完整的，在群论中被称为“半群”，而整数集则是完整的。

加法逆元#

减法来自何方？

进行加法运算时，我们关于数 a 定义一个数 x，使得

a+x=0

则称 x 为 a 的加法逆元，记作 −a。由此我们得到

a+(−a)=0

根据加法单位元的性质，加上一个数的加法逆元，相当于消除了加这个数的影响。

例1.5 已知 2+x=6，求 x。

解：
∵2 的加法单位元为 −2

∴x=6+(−2)w5

w5 和 ◼ 记号

w5 是 which was what we wanted 的缩写，表示回答完毕，解答过程的结束。

◼ 表示证毕，只用于证明过程的结束。表示证毕的常用记号还有 Q.E.D。

由此，代数的说，若 a+x=b，则 x=b+(−a)。

减法#

减法，只是加上加法逆元的简写。

由于 a+(−b) 很常用，而且书写称呼都不方便，我们设计一种新的二元运算，称为减法，作为加加法逆元的简称，即

a−b=a+(−b)

负数#

3 的加法逆元是多少，是自然数集的元素吗？

整数集（记作 Z）是自然数集的拓展，引入了负数的概念。简而言之：

1. 如果 n 是自然数，则 n 是整数。
2. 如果 n 是自然数，则 −n 是整数。
3. 整数集只包括上述满足两条性质的数。

即 ∀x∈Nx,−x∈Z 且 ∀x∈Zx∈N∨−x∈N。

逻辑记号：¬∨∧

¬ 表示逻辑非，即 ¬a 为真当且仅当 a 为假。

∨ 表示逻辑或，即 a∨b 为真当且仅当 a 为真或 b 为真。

∨ 表示逻辑且，即 a∧b 为假当且仅当 a 为假或 b 为假。

比起自然数集，整数集多了负数(negative number)，这使得整数集比自然数集更加完整：整数集中的每个数的加法逆元都能在整数集中找到，而只有 0 能在自然数集中找到加法逆元。

在整数集上，加法结合律和加法交换律任然成立（读者自证不难）。

有理数#

在乘法意义下，整数集完整吗？

乘法逆元#

怎么把 7 颗糖分给 3 个小朋友？

进行乘法运算时，我们关于数 a 定义一个数 x，使得

a+x=1

则称 x 为 a 的乘法逆元（在不产生歧义的前提下可以简称为逆元），暂时记作 1a。由此我们得到

a1a=1

根据乘法单位元的性质，乘以一个数的乘法逆元，相当于消除乘以这个数的影响。

除法#

你喜欢 a/b，a÷b，a:b，还是 ab？

我喜欢第一个，因为它使用的 LaTeX 记号最少，写起来最快。

既然减号是加号的一部分，除号也应该是乘号的一部分，不是吗？

由于 a1b 很常用，而且书写称呼都不方便，我们设计一种新的二元运算，称为除法，作为乘乘法逆元的简称，即

ab=a1b

分数#

3 的乘法逆元是多少？它是整数集的元素吗？

有理数集（记作 Q）是整数集的拓展，对于任意两个整数 a,b，满足ab 是有理数。即 Q={ab|a,b∈Z}。

运算性质#

在有理数域上，加法结合律和加法交换律任然成立（读者自证不难）。
并且，

定理1.6 有理数乘法满足结合律。即 ∀a,b,c∈Q(ab)c=a(bc)

定理1.7 有理数乘法满足交换律。即 ∀a,b∈Qab=ba

定理1.8 有理数加法和乘法满足分配律。即 ∀a,b,c∈Qa(b+c)=ab+ac

以上三条定理读者自证（好像有点难？），或视为加法和乘法定义的一部分即可。

根据分配率，我们注意到负数乘以负数得到一个正数。

数轴#

数有怎样的几何直观体现？

画一条直线，在直线上选两个点，分别为 0 和 1，并根据 0,1之间的位置关系标记出正方向，这就叫做数轴(number axis)。

真·通俗版定义

下面是一个数轴的例子：

加法变换#

加法有怎样的几何（数轴）直观体现？

加法就是横向平移数轴，例如 +3 就是将数轴左移 3 个单位。

画图画的？有点没对齐！

乘法变换#

乘法有怎样的几何（数轴）直观体现？

乘法就是缩放数轴，例如 ×3 就是将数轴缩小 3 倍。

根据分配率，乘负数就是缩放并翻转数轴方向。

乘方#

连加得乘，连乘得……

求 n 个 a 乘积的运算，叫做乘方(power)，记作 an。特别的，定义 a0=1。例如，34=81。

容易注意到，乘方并没有交换律（34=81,43=64）。但是乘方拥有几条重要性质（不妨称为乘方的基本性质）：

1. ∀a,n,manam=an+m
2. ∀a,n,manam=an−m
3. ∀a,n,m(an)m=anm

非自然数乘方#

上一节的定义并不完整（要求 n 为自然数），我们拓展这个定义。使得新定义满足两条乘方的基本性质。

例如我们要计算 432，由性质 1 得到

432=41412=4 412

那么 412 等于多少呢？不妨设 x=412，由性质 3 知道，

x2=(412)2=4

所以我们是想要知道，什么数 x 满足 x2=4，容易注意到 2 和 −2 都符合条件。我们定义当有两个数满足条件时，计算平方总是使用较大的那一个，即

412=2

所以 432=4 412=4 2=8

关于负数的乘方则可以这样运算：

a−b=a0−b=a0ab=1ab

由此之后，我们把 a 的乘法逆元记为 a−1，这样的记号清晰且节省空间。

算术开根#

a12=?

由于 a1b 很常用，而且书写称呼都不方便，我们设计一种新的运算，称为算术开根，作为乘方乘法逆元的简称，即

b√a=a1b

算术开根 b√a的意义就是求一个数 x 满足 xb=a。当 b=2 时，可以省略 b，即 √a=2√a。特别的，此时的运算叫做算术平方根(squre root)。

对数运算#

10000 乘 10000000 等于多少？你会列竖式计算吗？

不，前者有 4 个 0，后者有 7 个 0，所以结果有 4+7=12 个 0，即 1000000000000。

为什么能这样计算？

对数运算是乘方运算的一种逆运算，具体而言就是求解一个数 x 满足

ax=b

记

x=logab

其中 log 就是对数记号。

1. 当 a=2 时，a 可以省略，即 logb=log2b。
2. 我们称 a=10 的对数叫做常用对数(common logarithm)，并记为 lgb

对数拥有一些基本的性质：

定理1.9 ∀a,b,clogabc=logab+logac。

证明：
alogabc=bc=alogabalogac◼

推论1.10 ∀a,b,clogabn=nlogab。（读者自证不难）

推论1.11 ∀a,b,cloganb=1nlogab。（读者自证不难）

定理1.12 （换底公式）∀a,b,clogab=logcblogca。

证明：

令 x=logab，则 ax=b，注意到

cxlogca=(clogca)x=ax=b

两边取对数得

xlogca=logcb

代入 x 并移项得

logablogab=logcb

即 logab=logcblogca◼

无理数#

问题还是出在乘法上……

什么数乘以它自己等于 2？或者说，√2=?，答案是有理数集的元素吗？

我们知道，有理数总是有限小数或无限循环小数。

无理数(irrational number)则是无限不循环小数，一般包括代数数(algebraic number)和超越数(transcendental number)，我们将在之后（第四章）继续讨论这两种数的区别。

连分式#

我们注意到，一些乘方算式的结果，不总是有理数，或者说，不总能用一个分数表示。

考虑把任意有理数写成连续的分数嵌套形式，使得分子始终是 1。例如

75=1+12+12

198=2+12+11+12

称为连分式。

任何有理数都可以写成有限项的连分式，但是无理数不能，例如

√2=1+12+12+12+1⋱

实数#

作为一个总称，它完整了吗？

有理数和无理数，总称为实数(real number)（记作 R）。

实数运算律#

上文提及的加法结合律、加法交换律、乘法结合律、乘法交换律、加法乘法分配率、乘方基本性质、对数基本性质在实数集上均成立。

实数集的完整性#

封闭性：
实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性：
实数集是有序的，即任意两个实数 a,b 必定满足并且只满足下列三个关系之一： a<b,a=n,a>b。（我们将在以后详细讨论数学关系）

阿基米德性质：实数具有阿基米德性质(Archimedean property)，即 ∀a,b∈R,a>0∃n∈Nan>b

记号 ∃

∃ 形象是一个倒过来的 E，取自英文单词 exists，表示至少存在一个。例如

∃a≤10a>0

表示至少存在一个小于等于 10 的数 a，满足 a 大于 0。

稠密性：实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既可以是有理数，也可以是无理数。

习题#

1. 在课本上，加法逆元和乘法逆元的名称叫什么？
2. 0 可以有乘法逆元吗？有人认为可以定义 0 的乘法逆元为 ∞，即定义 10=∞，这样可行吗？
3. 整数集比自然数集大吗？有理数集比整数集大吗？实数集比有理数集大吗？
4. 如何使 00 有意义？
5. 在所有无理数中，最无理的数(the most irrational number)是什么？（你需要自己定义什么叫更无理）
6. 实数集完整了吗？
7. 一个实数总可以被表示成根式（嵌套）的形式吗？
8. 一个实数总可以被表示成一个系数都是整数的多项式的根的形式吗？