分类算法——支持向量机 详解

支持向量机（Support Vector Machine, SVM）的底层原理

        支持向量机是一种用于分类和回归的强大机器学习算法，最常见的是用于二分类任务。SVM 的核心思想是通过找到一个最优超平面，将数据集划分成不同的类别。SVM 尤其擅长处理高维数据，且能在数据少的情况下提供较好的分类效果。

1. SVM 的基本概念

在 SVM 中，主要有几个核心概念：

• 超平面（Hyperplane）：在特征空间中划分数据的决策边界。对于二维数据来说，超平面是一条线；对于三维数据来说，超平面是一个平面。
• 支持向量（Support Vector）：离决策边界最近的样本点。支持向量是定义超平面位置和方向的关键数据点。
• 间隔（Margin）：支持向量与超平面之间的距离。SVM 通过最大化间隔来优化超平面，使得分类更具泛化能力。

2. 线性可分的情况

        在数据线性可分的情况下，支持向量机旨在找到一个超平面来将不同类别的数据完全分开，且间隔最大化。对于一个线性可分的数据集，我们可以用以下决策函数来表示：

其中， 是法向量， 是偏置。我们的目标是使得正负类样本点满足以下条件：

为了最大化间隔，我们要最小化 ，即解决以下优化问题：

同时满足约束条件：

        这个优化问题可以通过 拉格朗日乘子法 转化为对偶问题，并使用 SMO 算法或其它优化算法求解。

3. 线性不可分的情况：软间隔与惩罚项

在实际应用中，数据往往并非线性可分。为此，我们引入 软间隔（Soft Margin） 和 惩罚项，允许少量样本出现在错误的分类区域内。

• 定义松弛变量 ξiξi​，表示每个样本点偏离其正确分类的程度。
• 优化目标变为最小化  和  的加权和。

优化问题变为：

其中， 是惩罚系数，平衡间隔最大化与分类错误之间的关系。

4. 核函数（Kernel Function）

        当数据在低维空间中不可分时，SVM 通过核函数将数据映射到更高维空间，在更高维度下寻找线性可分的超平面。常用的核函数包括：

• 线性核：K(x,x′)=x⋅x′
• 多项式核：
• 高斯核（RBF 核）：K(x,x′)=exp⁡()
• Sigmoid 核：K(x,x′)=tanh⁡(αx⋅x′+c)

        核函数的作用是避免直接在高维空间中计算数据点的坐标，通过核技巧（Kernel Trick），可以在低维空间进行计算，降低计算复杂度。

5. SVM 的优化算法

        SVM 的优化问题通常会通过 拉格朗日对偶 转换为对偶问题，从而简化求解过程。对于大规模数据集，SMO（Sequential Minimal Optimization） 是常用的优化算法，其基本思想是每次只优化两个变量，使得复杂的约束条件转换为二元约束问题，从而高效求解。

SVM 实现细节：Python 源码分析

        在 scikit-learn 中，SVM 算法使用 SVC（支持向量分类）类实现，以下是基于 scikit-learn 的 SVC 类的代码示例：

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.svm import SVC
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
 
# 加载数据集
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:, :2]  # 只取两个特征方便可视化
y = iris.target
y = y[y != 2]  # 仅使用两类样本进行二分类
X = X[y != 2]
 
# 划分数据集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)
 
# 构建 SVM 模型
clf = SVC(kernel='linear', C=1.0)
clf.fit(X_train, y_train)
 
# 打印支持向量
print("支持向量：", clf.support_vectors_)
 
# 预测测试集
y_pred = clf.predict(X_test)
 
# 可视化决策边界
def plot_decision_boundary(clf, X, y):
    x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, 0.01),
                         np.arange(y_min, y_max, 0.01))
    Z = clf.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
    Z = Z.reshape(xx.shape)
    plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.8)
    plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, edgecolors='k', marker='o')
    plt.xlabel('Feature 1')
    plt.ylabel('Feature 2')
    plt.title('SVM Decision Boundary')
    plt.show()
 
plot_decision_boundary(clf, X, y)

源码分析

scikit-learn 的 SVC 类是对 libsvm 的封装，核心参数和方法包括：

• kernel：指定核函数类型，包括 'linear'、'poly'、'rbf'、'sigmoid' 等。
• C：惩罚系数，控制软间隔的程度。
• fit(X, y)：训练模型。
• predict(X)：对测试数据进行分类预测。
• support_vectors_：返回支持向量。

        在 fit 方法中，scikit-learn 会调用 libsvm 的训练接口，根据给定的数据和参数进行支持向量求解，通过 SMO 或其他优化算法找到最优解。

SVM 的应用场景

        SVM 适用于高维数据集和样本量较小的数据集。在文本分类、人脸识别、生物信息学等领域，SVM 都得到了广泛应用。

SVM 的优缺点

优点：

1. 分类效果好：适合高维数据，且对样本量少的数据有很好的分类效果。
2. 高泛化能力：通过最大化间隔使得模型具有更强的泛化能力。
3. 多样性：可通过不同的核函数应对非线性问题。

缺点：

1. 计算复杂度高：对于大规模数据集训练速度较慢，尤其是使用非线性核函数时。
2. 对参数敏感：核函数类型、惩罚系数 C、核函数参数等对模型影响较大，需要通过调参找到最优组合。
3. 解释性弱：相比于决策树等模型，SVM 的决策过程不易理解和解释。

SVM 的总结

        SVM 是一种强大的分类算法，适用于高维和小样本数据。其主要思想是找到一个最优超平面，最大化不同类别数据的间隔。通过软间隔和核函数，SVM 可以处理线性不可分数据。优化算法主要使用 SMO 或对偶问题求解。虽然 SVM 在分类效果上表现出色，但训练复杂度较高，对参数敏感。