笔记 | 算法时间复杂度T(n)的计算方法

 👻 基本思想：找出关键语句总执行次数 T 与 输入规模 n 的关系式

     （本博客仅提供一种解题思路与通用方法，具体问题请具体分析）

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👻 类型：while循环

🚀 思路

        找出不满足while条件时，关键语句总执行次数（即循环轮数 k）与输入规模 n 之间的关系

🚀 方法

        1、确定代码中的循环变量、限制项、终止项：

               👾 循环变量 i — 代码中进行循环的变量，例如下面的变量 i ；

               👾 循环轮数 k — while循环不满足条件结束时，代码总共循环的次数；

               👾  限制项 — 代码while限制条件的限制项，一般是关于循环变量 i 的函数，如下面代码的 i*i*i ；

               👾  终止项 — 代码while限制条件的终止项，一般是关于输入规模 n 的函数，如下面代码的 n/2 ；

        2、画表格找关系

        3、得出关系式： ，反解k得到关于终止项n的关系式g(n)。

        4、对k的关系式g(n)化简得到时间复杂度T(n)。

🚀 例题

        👾 例题1

// 计算该算法的时间复杂度
void func(int n){
    int i=1;
    while(i<=n)
        i=i*2;
}

        （1）找出循环变量、限制项、终止项

        （2）画表格，填表找关系

                🤖 第1轮：循环变量初始化为1。while判断后，限制项 i = 1，循环变量变为 i = i*2 = 2；

                🤖 第2轮：该轮初始循环变量为上轮的2。while判断后，限制项 i = 2，循环变量变为 i = i*2 = 4；

                🤖 第3轮：该轮初始循环变量为上轮的4。while判断后，限制项 i = 4，循环变量变为 i = i*2 = 8；

                🤖 第k轮：根据循环轮数k与限制项的关系可得此时限制项 i = 2^(k-1)。

        （3）得出关系式：  反解k得 

        （4）化简k的关系式g(n)可得算法时间复杂度T(n) = O(logn)

        👾 例题2

// 计算该算法的时间复杂度
void func(int n){
    int i=0;            
    while(i*i*i <= n) 
        i++;
}

        （1）找出循环遍历、限制项、终止项

        （2）画表格，填表找关系

                🤖 第1轮：循环变量初始化为0。while判断后，限制项 i*i*i = 0，循环变量变为 i = i+1 = 1；

                🤖 第2轮：该轮初始循环变量为上轮的1。while判断后，限制项 i*i*i = 1*1*1 = 1，循环变量变为 i = i+1 = 2；

                🤖 第3轮：该轮初始循环变量为上轮的2。while判断后，限制项 i*i*i  = 2*2*2 = 8，循环变量变为 i = i+1 = 3；

                🤖 第k轮：根据循环轮数k与限制项的关系可得此时限制项 i*i*i = (k-1)^3。

        （3）得出关系式：  反解k得 

        （4）化简k的关系式g(n)可得算法时间复杂度T(n) = O(n^(1/3))

        👾 例题3

// 计算该算法的时间复杂度
void func(int n){
    int x=2;           
    while(x < n/2)    
        x = 2*x;
}

        （1）找出循环遍历、限制项、终止项

        （2）画表格，填表找关系

                🤖 第1轮：循环变量初始化为2。while判断后，限制项 x= 2，循环变量 x = 2*x = 4；

                🤖 第2轮：该轮初始循环变量为上轮的4。while判断后，限制项 x= 4，循环变量变为 x = 2*x = 8；

                🤖 第3轮：该轮初始循环变量为上轮的8。while判断后，限制项 x= 8，循环变量 x = 2*x = 16；

                🤖 第k轮：根据循环轮数k与限制项的关系可得此时限制项 x =2^k。

        （3）得出关系式： ，反解k得 

        （4）化简k的关系式g(n)可得算法时间复杂度T(n) = O(logn)

        👾 例题4

// 计算该算法的时间复杂度
void func(int n){
    int x=0;                 
    while(n >= (x+1)*(x+1)) 
        x=x+1;
}

        （1）找出循环遍历、限制项、终止项 

         （2）画表格，填表找关系（过程略，直接给出第k轮）

                 🤖 第k轮：根据循环轮数k与限制项的关系可得此时限制项 (x+1)^2 =k^2。

        （3）得出关系式：  反解k得 

        （4）化简k的关系式g(n)可得算法时间复杂度T(n) = O(n^(1/2))

       👾 例题5

// 计算该算法的时间复杂度
void func(int n){
    int i=0,sum=0;      
    while(sum < n)      
        sum+ = ++i;
}

        （1）找出循环遍历、限制项、终止项 

          （2）画表格，填表找关系（过程略，直接给出第k轮）

                 🤖 第k轮：根据循环轮数k与限制项的关系可得此时限制项 sum = [k(k+1)]/2。

        （3）得出关系式：  反解k得 

        （4）化简k的关系式g(n)可得算法时间复杂度T(n) = O(n^(1/2))

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👻 类型：for循环

🚀 思路

        在外层循环限制下，找出关键语句总执行次数T与轮数x、输入规模n与轮数x的关系，联立求解。

🚀 方法

        1、确定代码中的循环层数（以两层for循环为例）、内外层终止条件、内外层步长、关键操作语句：

               👾 内外层变量 — 若是嵌套for循环，确定各层循环变量，如下面代码的 i、j ；

               👾 外层终止条件 — 外层for循环终止的条件，如下面代码的 i<=n 条件；

               👾 内层终止条件 — 内层for循环终止的条件，如下面代码的 j<=2*i 条件；  

               👾 外层步长 — 外层for循环的步长，如下面代码的 i++；    

               👾 内层步长 — 内层for循环的步长，如下面代码的 j++；              

               👾 关键操作语句 — 关键操作代码，一般在最内层for循环，如下面代码的 m++ 语句；

        2、画表格找关系

        3、确定轮数x与输入规模n的关系式①，轮数x与关键语句总执行次数T的关系式②；

        4、联立①、②式，得到 总执行次数T 关于 输入规模n 的关系。化简得到时间复杂度T(n)。

附：等差、等比数列求和公式

🚀 例题

        👾 例题1

// 计算该算法的时间复杂度
int m=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=2*i;j++)
        m++;

        （1）确定内外层终止条件，内外层步长

        （2）画表格，填表找关系

                🤖 第1轮：外层变量 i 初始化为1。内层变量 j 从1到 2 (2*i) ，关键语句执行 2 次；

                🤖 第2轮：外层变量 i 为2。内层变量 j 从1到 4 (2*i) ，关键语句执行 4 次；

                🤖 第3轮：外层变量 i 为3。内层变量 j 从1到 6 (2*i) ，关键语句执行 6 次；

                🤖 最后一轮：最后一轮假设为x轮，则外层变量 i 为x。内层变量 j 从1到 2x (2*i) ，关键语句执行 2x 次；

        （3）得出轮数x与输入规模n的关系式①（当i=n时外层循环结束，此时轮数x即为n轮）：

        （4）轮数x与关键语句总执行次数T的关系式②（将各轮执行次数累加）：

        （4）联立①、②式，得：

        （5）化简得时间复杂度T(n) = O(n^2)

更直观的做法：

 👾 例题2

// 计算该算法的时间复杂度
int count=0;
for(int k=1;k<=n;k*=2)           
    for(int j=1;j<=n;j++)   
        count++;

        （1）确定内外层终止条件，内外层步长

        （2）画表格，填表找关系（过程略，直接给出最后一轮）

            🤖 最后一轮：最后一轮假设为x轮，则外层变量 k 为2^(x-1)。内层变量 j 与外层变量无关，从始至终都是从 1 到  n ，关键语句执行 n 次；最终终止条件为 k = n。

        （3）得出轮数x与输入规模n的关系式①（当外层变量 k = 2^(x-1) = n 时外层循环结束）：

        （4）轮数x与关键语句总执行次数T的关系式②（将各轮执行次数累加）：

        （4）联立①、②式，得：

        （5）化简得时间复杂度T(n) = O(nlogn)

 👾 例题3

// 计算该算法的时间复杂度
int sum = 0;
for(int i=1;i2)          
    for(int i=0;j
        sum++;

        （1）确定内外层终止条件，内外层步长

        （2）画表格，填表找关系（过程略，直接给出最后一轮）

            🤖 最后一轮：最后一轮假设为x轮，则外层变量 i 为2^(x-1)。内层变量 j 从 0 到 i ，关键语句执行 i 次；最终终止条件为 i < n。

        （3）得出轮数x与输入规模n的关系式①（当外层变量 n-1 < i  < n 时循环结束，此时 i = 2^（x-1））：

        （4）轮数x与关键语句总执行次数T的关系式②（将各轮执行次数累加）：

        （4）联立①、②式，得：

        （5）化简得时间复杂度T(n) = O(n)

  👾 例题4

// 计算该算法最后一行语句的频度在最坏情况下的时间复杂度（冒泡排序）
for(int i=n-1;i>1;i--)         
    for(int j=1;j
        if(A[j]1])
            swap(A[j],A[j+1]); // 交换A[j]与A[j+1]的值

        （1）确定内外层终止条件，内外层步长

        （2）画表格，填表找关系（过程略，直接给出最后一轮）

              🤖 最后一轮：最后一轮假设为x轮，则外层变量 i 为n-x。内层变量 j 从 0 到 i ，关键语句执行 i - 1 次；最终终止条件为 i < 1 ，即 i = 2。

        （3）得出轮数x与输入规模n的关系式①（当外层变量 i > 1 即 i = n-x = 2 时循环结束）：

        （4）轮数x与关键语句总执行次数T的关系式②（将各轮执行次数累加）：

        （4）联立①、②式，得：

        （5）化简得时间复杂度T(n) = O(n^2)

更直观的做法：

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👻 类型：递归循环

🚀 思路

       找出总执行次数T与输入规模n之间的递推方程进行推导（递推法）

🚀 例题

        👾 例题1

// 计算该算法的时间复杂度
int func(int n){
    if(n<=1) return 1;         
    return n*func(n-1);        
}

        （1）算法通过 n*func(n-1) 语句进行递归，递归出口为func(1)。

        （2）每次递归调用func()方法时参数减1，共调用n次结束，即T=n，故时间复杂度为 O(n) 。

       

        👾 例题2

某算法的所需的时间由下面的递归方程表示，计算该算法的时间复杂度的级别。

式中，n是问题的规模，为简单起见，设n为2的整数次幂。

        （1）设 n = 2^k (k >= 0)，则根据递归方程得：

                根据规律可得一般递推公式：

        （2）当 i = k 时，有：

                 又由  n = 2^k 得：

                即时间复杂度为O(nlogn)

        👾 例题3

汉诺塔难题源于印度一个古老传说。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上，并且规定，在任何时候，小圆盘上都不能放大圆盘，且在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。应该如何操作？

伪码如下：

算法 Hanoi (𝐵,𝐷,n) // n个盘子𝐵到𝐷
if n = 1 then move (𝐵,𝐷) // 1个盘子𝐵到𝐷
else Hanoi (𝐵,𝐶,n − 1)
move (𝐵,𝐷)
Hanoi (𝐶,𝐷,n − 1)

其递归方程如下：

请计算该算法的时间复杂度的级别。

        （1）根据递归方程得：

                根据规律可得一般递推公式：

        （2）当 i = n-1 时，有：

                即时间复杂度为O(2^n)

附：递归类型的时间复杂度计算方法除递推方法外还包括Master定理方法、递归树，具体可以参考该博客：三种方法求递归算法的时间复杂度（递推，master定理，递归树）

 

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🌇 日落是免费的，春夏秋冬也是，不要觉得人生那么无望，希望你快乐。我们总是为许多遥不可及的事情奔波，却错过了路边的花开，傍晚落在身上的夕阳。忙着生活的同时记得去感受日常生活中的小细节，生活除了琐碎与平淡，还有可口的美食和无数盛开的花朵。晚风吹人醒，万事藏于心。我没说不公平也没说苦，我说我知道了 

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