• C++算法学习心得八.动态规划算法（6）

    1.最长递增子序列（300题）

    题目描述：

    给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

    子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

    示例 1：

    • 输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
    • 输出：4
    • 解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

     dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度

    if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);

    注意这里不是要dp[i] 与 dp[j] + 1进行比较，而是我们要取dp[j] + 1的最大值。

    每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1.

    dp[i] 是有0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历

    j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
    4.         if(nums.size() <= 1)return nums.size();
    5.         vector<int>dp(nums.size(),1);
    6.         int result = 0;
    7.         for(int i = 1;i < nums.size();i++){
    8.             for(int j = 0;j < i;j++){
    9.                 if(nums[j] < nums[i])dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
    10.             }
    11.             if(dp[i] > result)result = dp[i];
    12.         }
    13.         return result;
    14.     }
    15. };
    • 时间复杂度: O(n^2)
    • 空间复杂度: O(n)

    2.最长连续递增序列(674题）

    题目描述：

    给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

    连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

    示例 1：

    • 输入：nums = [1,3,5,4,7]
    • 输出：3
    • 解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

    dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i],

    如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。

    即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

    因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

    既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

    以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。

    所以dp[i]应该初始1;

     dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
    4.         if(nums.size() == 0)return nums.size();
    5.         vector<int>dp(nums.size(),1);
    6.         int result = 1;
    7.         for(int i = 1;i < nums.size();i++){
    8.             if(nums[i] > nums[i - 1])dp[i] = dp[i - 1] + 1;
    9.             if(dp[i] > result)result = dp[i];
    10.         }
    11.         return result;
    12.     }
    13. };
    • 时间复杂度：O(n)
    • 空间复杂度：O(n)

    贪心算法:

    遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int findLengthOfLCIS(vector<int>& nums) {
    4.         if(nums.size() == 0)return nums.size();
    5.         int result = 1;
    6.         int count = 1;
    7.         for(int i = 1;i < nums.size();i++){
    8.             if(nums[i] > nums[i - 1]){
    9.                 count++;
    10.             }else{
    11.                 count = 1;
    12.             }
    13.             if(count > result)result = count;
    14.         }
    15.         return result;
    16.     }
    17. };
    • 时间复杂度：O(n)
    • 空间复杂度：O(1)

    3.最长重复子数组(718题）

    题目描述：

    给两个整数数组 A 和 B ，返回两个数组中公共的、长度最长的子数组的长度。

    示例：

    输入：

    • A: [1,2,3,2,1]
    • B: [3,2,1,4,7]
    • 输出：3
    • 解释：长度最长的公共子数组是 [3, 2, 1] 。

     dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。 （特别注意： “以下标i - 1为结尾的A” 标明一定是 以A[i-1]为结尾的字符串 ）

    dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

    即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

    dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0

    外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int findLength(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
    4.         vectorint>>dp(nums1.size() + 1,vector<int>(nums2.size() + 1,0));
    5.         int result = 0;
    6.         for(int i = 1;i <= nums1.size();i++){
    7.             for(int j = 1;j <= nums2.size();j++){
    8.                 if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1])dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    9.                 if(dp[i][j] > result)result = dp[i][j];
    10.             }
    11.         }
    12.         return result;
    13.     }
    14. };
    • 时间复杂度：O(n × m)，n 为A长度，m为B长度
    • 空间复杂度：O(n × m)

     4.最长公共子序列(1143题）

    题目描述：

    给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长公共子序列的长度。

    一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

    例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。两个字符串的「公共子序列」是这两个字符串所共同拥有的子序列。

    若这两个字符串没有公共子序列，则返回 0。

    示例 1:

    • 输入：text1 = "abcde", text2 = "ace"
    • 输出：3
    • 解释：最长公共子序列是 "ace"，它的长度为 3。

    dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

    text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

    如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

    如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。

    即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

    dp[i][0] = 0;

    同理dp[0][j]也是0。

    从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

    dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
    4.         vectorint>>dp(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0));
    5.         for(int i = 1;i <= text1.size();i++){
    6.             for(int j = 1;j <= text2.size();j++){
    7.                 if(text1[i - 1] == text2[j - 1]){
    8.                     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    9.                 }else{
    10.                     dp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);
    11.                 }
    12.             }
    13.         }
    14.         return dp[text1.size()][text2.size()];
    15.     }
    16. };
    • 时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
    • 空间复杂度: O(n * m)

     5.不相交的线(1035题）

    题目描述：

    在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

    现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

    •  nums1[i] == nums2[j]
    • 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

    请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

    以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

     

    本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度 

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int maxUncrossedLines(vector<int>& A, vector<int>& B) {
    4.         vectorint>> dp(A.size() + 1, vector<int>(B.size() + 1, 0));
    5.         for (int i = 1; i <= A.size(); i++) {
    6.             for (int j = 1; j <= B.size(); j++) {
    7.                 if (A[i - 1] == B[j - 1]) {
    8.                     dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
    9.                 } else {
    10.                     dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
    11.                 }
    12.             }
    13.         }
    14.         return dp[A.size()][B.size()];
    15.     }
    16. };
    • 时间复杂度: O(n * m)
    • 空间复杂度: O(n * m)

    6. 最大子序和（53题）

    题目描述：

    给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

    示例:

    • 输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
    • 输出: 6
    • 解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

     dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

    dp[i]只有两个方向可以推出来：

    • dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
    • nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和

    一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

    递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

    dp[0]应该是多少呢?

    根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

    递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历，在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]

    1. class Solution {
    2. public:
    3.     int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    4.         if(nums.size() == 0)return 0;
    5.         vector<int>dp(nums.size(),0);//dp[i]表示包括i之前的最大连续子序列和
    6.         dp[0] = nums[0];
    7.         int result = dp[0];
    8.         for(int i = 1;i < nums.size();i++){
    9.             dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);//状态转移公式，舍弃前面和当前基础上再继续加和
    10.             if(dp[i] > result)result = dp[i];//result 保存dp[i]的最大值
    11.         }
    12.         return result;
    13.     }
    14. };
    • 时间复杂度：O(n)
    • 空间复杂度：O(n)

    总结：

     最长递增子序列：给定一个序列，其内部顺序是不定的，所以这里要求最大升序序列长度，那么先定义dp数组的含义dp[i]代表i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度，进行初始化操作，dp[i]大小为数组大小，且都赋值1，因为设定是长度至少有1，遍历顺序需要双循环来外层I是从1到nums.size()，内层循环从0到i进行遍历，递推公式：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);还要记得需要更新dp[i]的值if(dp[i] > result)result = dp[i];最后返回result即可

    最长连续递增序列：动态规划：上一题基础上，介绍dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i],如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1。递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + 1，本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历），贪心算法：遇到nums[i] > nums[i - 1]的情况，count就++，否则count为1，记录count的最大值就可以了。

    最长重复子数组：给定两个数组，然后对这两个数组求最大重复子数组，dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]，dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来，递推公式：A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1，初始化：dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0，遍历顺序：外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

    最长公共子序列：给定两个字符串，但是呢需要求的子序列是不改变相对顺序，且可以删除字符，dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

    不相交的线：求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度 ，整体代码和上一个最长公共子序列流程一样，想法也大致相同，只是换一些字母。

    最大子序和：dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]，dp[i]只有两个方向，一个是dp[i-1]+nums[i]，还有从开始nums[i]开始，递推公式：dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])，dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]，dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历，在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_55605689/article/details/136281592