统计信号处理基础 习题解答11-6

题目

考虑例11.1对WGN中单个正弦信号的数据模型，将模型重写为

其中：

，证明A的PDF是瑞丽的，的PDF是，且和是相互独立的。

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解答

根据例11.1：

由于N维联合高斯分布为：

由：

因此：

最终：

其实，从看出，和是独立的，因此：

两者效果是一致的。

接下来需要用到二维连续随机变量的变换法，可以参考：

随机过程——随机变量的函数变换(换元)_连续型分布函数的变换-CSDN博客

根据题目条件，我们知道和函数关系：

因此可以得到：

要求。根据连续随机变量的变换法，需要求：

那么：

最终：

其中：, 。因此，可以求边缘概率密度函数，得到：

显然，根据就算的和，存在：

因此，和是相互独立的

另外，根据Rayleigh分布的定义，得到A的PDF 是Rayleigh分布。

瑞利分布（Rayleigh Distribution）回顾-CSDN博客