数据结构5---矩阵和广义表

一、矩阵的压缩存储

特殊矩阵:矩阵中很多值相同的元素并且它们的分布有一定的规律。

稀疏矩阵:矩阵中有很多零元素。压缩存储的基本思想是:

        (1)为多个值相同的元素只分配一个存储空间;

        (2)对零元素不分配存储空间。

1、特殊矩阵的压缩存储

（1）对称矩阵

只存储下三角部分的元素

存储结构

对于下三角的元素aij(i>=j)，在数组中的下标与i,j关系为 k = i*(i-1)/2 + j-1

上三角的元素aij(i

 (2)三角矩阵

只存储上三角(或下三角)部分的元素

下三角矩阵

存储：

1.下三角元素        2.对角线上方的常数

矩阵中的任一元素aij在数组中的下标k与i,j的对应关系

当i>=j时        k=i*(i-1)/2+j-1

当i

上三角矩阵

存储：

1.上三角元素        2.对角线下方的常数

矩阵中的任一元素aij在数组中的下标k与i,j的对应关系

当i<=j时        k=(i-1)*(2n-i+2)/2+j-1

当i>j              k=n*(n+1)/2

 (3)对角矩阵

对角矩阵:所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，除了主对角线和它的上下方若干条对角线的元素外，所有其他元素都为零。

 (4)稀疏矩阵

 我们定义了一个三元组

struct Triple
{
    int row,col;    //行和列
    DataType item;    //值
};

三元组表:将稀疏矩阵的非零元素对应的三元组所构成的集合,按行优先的顺序排列成一个线性表。

采用顺序存储结构存储三元组表

三元顺序表的存储结构定义

const int MAX = 100;
struct SparseMatrix
{
    struct Triple data[MAX];    //存储非零元素
    int mu,nu,num;    //行数，列数，非零元素个数
};

这种存储方法的缺点是:进行矩阵加法、减法等操作时，非零元素的个数和位置都会发生变化，顺序存储法就非常不方便了。

2、十字链表

采用链接存储结构存储三元组表，每个非零元素对应的三元组存储为一个链表结点，结构为:

row:存储非零元素的行号

col:存储非零元素的列号

item:存储非零元素的值

right:指针域，指向同一行中的下一个三元组

down:指针域，指向同一列中的下一个三元组

定义结构体

#define ElementType int
 
typedef struct OLNode
{
    int row;//1~m
    int col;//1~n
    ElementType value;
    struct OLNode *right, *down;//非零元素所在行，列后继链域
}OLNode, *OLink;
 
typedef struct CrossList
{
    OLink* row_head, *col_head;//行，列链表的头指针向量
    int m;//行数
    int n;//列数
    int len;//非零元素个数
}CrossList;

代码实现

//稀疏矩阵的链式存储结构：十字链表
#include 
#include 
#include 
 
#define ElementType int
 
typedef struct OLNode
{
    int row;//1~m
    int col;//1~n
    ElementType value;
    struct OLNode *right, *down;//非零元素所在行，列后继链域
}OLNode, *OLink;
 
typedef struct CrossList
{
    OLink* row_head, *col_head;//行，列链表的头指针向量
    int m;//行数
    int n;//列数
    int len;//非零元素个数
}CrossList;
 
void CreatCrossList(CrossList* M, int m, int n, int len)
{
    M->m = m;
    M->n = n;
    M->len = len;
    if(!(M->row_head = (OLink*)malloc((m + 1) * sizeof(OLink))))
    {
        perror("row_head");
        exit(-1);
    }
    if(!(M->col_head = (OLink*)malloc((n + 1) * sizeof(OLink))))
    {
        perror("col_head");
        exit(-1);
    }
    memset(M->row_head, 0, (m + 1) * sizeof(OLink));
    memset(M->col_head, 0, (n + 1) * sizeof(OLink));//初始化为空链表
 
    int i = 0, j = 0, e = 0;//结点的行，列，值
    printf("请输入结点的行号,列号,值:\n");
    while(len)
    {
        scanf("%d %d %d", &i, &j, &e);
        if(i < 1||i > m||j < 1||j > n)
        {
            printf("行列号不合法,请重新输入:\n");
            continue;
        }
 
        int flag = 0;//检查位置是否重复
        for(OLNode* k = M->row_head[i]; k != NULL; k = k->right)
        {
            if(k->col == j)
            flag = 1;
        }
        if(flag)
        {
            printf("结点位置重复,请重新输入:\n");
            continue;
        }
 
        OLNode* p = (OLNode*)malloc(sizeof(OLNode));//申请结点
        if(p == NULL)
        {
            perror("Node application");
            exit(-1);
        }
        p->row = i; p->col = j; p->value = e;
        p->right = p->down = NULL;
 
        //行链表插入
        if(M->row_head[i] == NULL)//该行还没有结点
        {
            M->row_head[i] = p;
        }
        else if(p->col < M->row_head[i]->col)//新建结点列号<该行首结点列号
        {
            p->right = M->row_head[i];
            M->row_head[i] = p;
        }
        else//寻找插入位置
        {
            OLNode* q;
            for(q = M->row_head[i]; q->right && q->right->col < j; q = q->right);
            p->right = q->right;
            q->right = p;
        }
 
        //列链表插入
        if(M->col_head[j] == NULL)//该列还没有结点
        {
            M->col_head[j] = p;
        }
        else if(p->row < M->col_head[j]->row)//新建结点行号<改行首节点行号
        {
            p->down = M->col_head[j];
            M->col_head[j] = p;
        }
        else//寻找插入位置
        {
            OLNode* q;
            for(q = M->col_head[j]; q->down && q->down->row < i; q = q->down)
            p->down = q->down;
            p->down = p;
        }
 
        len--;
        printf("插入成功!\n");
        printf("请输入结点的行号,列号,值:\n");
    }
 
}
 
void PrintCrossList(CrossList* M)//打印十字链表
{
    for(int row = 0; row < M->m; row++)
    {
        OLNode* p = M->row_head[row];
        while(p != NULL)
        {
            printf("(%d, %d)=%d ", p->row, p->col, p->value);
            p = p->right;
        }
        printf("\n");
    }
}
 
int main()
{
    CrossList M;
    CreatCrossList(&M, 10, 10, 10);
    PrintCrossList(&M);
    return 0;
}

3、快速转置

在顺序结构里转置

(1)简单转置

按矩阵source的列序进行转置

算法实现

SparseMatrix source,dest;
int q = 1;
for(col=1;col<=source.nu;col++)
{
    for(p=1;p<=source.num;p++){
        if(source.data[p].col==col)
            {
                dest.data[q].row = source.data[p].col;
                dest.data[q].col = source.data[p].row;
                dest.data[q].e = source.data[p].e;
                q++;
            }
        }
   }

(2)快速转置

按矩阵source的行序进行转置

方法：增加2个辅助向量

这里的cPos[col]为：1 3 5 7 8 8 9

-3一定是第一个，12一定是第三个....

cPos算法:

cPos[1] = 1;
for(col = 2;col <= source.nu; col++)
{
    cPos[col] = cPos[col-1]+cNum[col-1];
}

cNum算法：

for(col = 1;col <= source.nu; ++col) cNum[col]=0;    //初始化全为0
for(sPos = 1;sPos <= source.number;++sPos)
    ++cNum[source.data[sPos].col];        //就是按列遍历整个三元组，列号为几，就在对应的cNum上++

就是找位置，找到对应位置后，其相应的cPs+1

二、广义表

1、定义

 广义表又称列表，也是一种线性存储结构，通数组类似，广义表中即可存储不可再分的元素也能存储可在分元素。

        例如：数组中可以存储‘a’、3这样的字符或数字，也能存储数组，比如二维数组、三维数组，数组都是可在分成子元素的。广义表也是如此，但与数组不同的是，在广义表中存储的数据是既可以再分也可以不再分的，形如：{1,{1,2,3}}。

    广义表记作：

LS = (a1,a2,…,an)

2、原子和子表

    广义表中存储的单个元素称为 "原子"，而存储的广义表称为 "子表"。

例如创建一个广义表 LS = {1,{1,2,3}}，我们可以这样解释此广义表的构成：广义表 LS 存储了一个原子 1 和子表 {1,2,3}。

以下是广义表存储数据的一些常用形式：

• A = ()：A 表示一个广义表，只不过表是空的。
• B = (e)：广义表 B 中只有一个原子 e。
• C = (a,(b,c,d)) ：广义表 C 中有两个元素，原子 a 和子表 (b,c,d)。
• D = (A,B,C)：广义表 D 中存有 3 个子表，分别是A、B和C。这种表示方式等同于 D = ((),(e),(b,c,d)) 。
• E = (a,E)：广义表 E 中有两个元素，原子 a 和它本身。这是一个递归广义表，等同于：E = (a,(a,(a,…)))。

注意，A = () 和 A = (()) 是不一样的。前者是空表，而后者是包含一个子表的广义表，只不过这个子表是空表。

3、表头和表尾

当广义表不是空表时，称第一个数据（原子或子表）为"表头"，剩下的数据构成的新广义表为"表尾"。

强调一下，除非广义表为空表，否则广义表一定具有表头和表尾，且广义表的表尾一定是一个广义表。

例如在广义表中 LS={1,{1,2,3},5} 中，表头为原子 1，表尾为子表 {1,2,3} 和原子 5 构成的广义表，即 {{1,2,3},5}。

再比如，在广义表 LS = {1} 中，表头为原子 1 ，但由于广义表中无表尾元素，因此该表的表尾是一个空表，用 {} 表示。

4、广义表的存储结构

使用顺序表实现广义表结构，不仅需要操作 n 维数组（例如 {1,{2,{3,4}}} 就需要使用三维数组存储），还会造成存储空间的浪费。

typedef struct GLNode{
    int tag;//标志域
    union{
        char atom;//原子结点的值域
        struct{
            struct GLNode * hp,*tp;
        }ptr;//子表结点的指针域，hp指向表头；tp指向表尾
    }subNode;
}*Glist;

 这里用到了 union 共用体，因为同一时间此节点不是原子节点就是子表节点，当表示原子节点时，就使用 atom 变量；反之则使用 ptr 结构体。

Glist creatGlist(Glist C) {
    //广义表C
    C = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    C->tag = 1;
    //表头原子‘a’
    C->subNode.ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    C->subNode.ptr.hp->tag = 0;
    C->subNode.ptr.hp->subNode.atom = 'a';
    //表尾子表（b,c,d）,是一个整体
    C->subNode.ptr.tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    C->subNode.ptr.tp->tag = 1;
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp = NULL;
    //开始存放下一个数据元素（b,c,d）,表头为‘b’，表尾为（c,d）
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->tag = 1;
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.hp->tag = 0;
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.hp->subNode.atom = 'b';
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    //存放子表(c,d)，表头为c，表尾为d
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->tag = 1;
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->tag = 0;
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.atom = 'c';
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    //存放表尾d
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp->tag = 1;
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp = (Glist)malloc(sizeof(Glist));
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->tag = 0;
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.atom = 'd';
    C->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.hp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp->subNode.ptr.tp = NULL;
    return C;
}

4、长度 

 广义表的长度，指的是广义表中所包含的数据元素的个数。
由于广义表中可以同时存储原子和子表两种类型的数据，因此在计算广义表的长度时规定，广义表中存储的每个原子算作一个数据，同样每个子表也只算作是一个数据。
例如，在广义表 {a,{b,c,d}} 中，它包含一个原子和一个子表，因此该广义表的长度为 2。
再比如，广义表 {{a,b,c}} 中只有一个子表 {a,b,c}，因此它的长度为 1。
前面我们用 LS={a1,a2,...,an} 来表示一个广义表，其中每个 ai 都可用来表示一个原子或子表，其实它还可以表示广义表 LS 的长度为 n。

广义表规定，空表 {} 的长度为 0。

 5、深度

由于这个不做考试内容，分享一个博客

数据结构-广义表-CSDN博客https://blog.csdn.net/qq_51701007/article/details/126352030?ops_request_misc=%257B%2522request%255Fid%2522%253A%2522171894059816800211521274%2522%252C%2522scm%2522%253A%252220140713.130102334..%2522%257D&request_id=171894059816800211521274&biz_id=0&utm_medium=distribute.pc_search_result.none-task-blog-2~all~top_positive~default-1-126352030-null-null.142%5Ev100%5Epc_search_result_base5&utm_term=%E5%B9%BF%E4%B9%89%E8%A1%A8&spm=1018.2226.3001.4187