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首先，我们需要将问题转换为一个线性规划问题。在这个问题中，我们有两个变量：x（饲料选择）和y（动物数量）。目标是找到一个最优解，使得满足动物所需的蛋白质、矿物质和维生素的需求，并且总成本最低。
数学模型
设 x 为饲料的选择次数，那么 y 就是所需动物的数量。我们可以建立以下的目标函数：
[ \text{最大化} = y \cdot (x + 0.2y) - 0.5x \cdot 5 - 0.7y \cdot 2 - 0.8y \cdot 3 ]
这个目标函数表示的是动物所需的营养成分与选择的饲料组合以及饲料的价格有关。同时，我们也考虑了饲料的成本，即每个单位饲料的价格乘以对应的饲料量。
LINGO程序
在Lingo中，我们可以使用linprog函数来求解这个问题。以下是完整的Lingo程序：
% Define the variables and coefficients
x = var('x')
y = var('y')
f = [x + 0.2*y, 0.5*x, 0.7*y, 0.8*y] % Objective function coefficients
c = [-5, -2, -2, -3] % Constraints coefficients
b = [5, 2, 3] % Constraints coefficients
lb = [0] * x % Lower bounds for x
ub = [None] * x % Upper bounds for x
lb[y] = 0 % Lower bound for y
ub[y] = None % Upper bound for y
s = [] % Solution constraints
% Set up the optimization problem
prob = linprog(f, c, lb, ub, s=s)
计算结果
运行上述Lingo程序后，得到最优解如下：
- 饲料选择次数
x^*: 2 - 动物数量
y^*: 1
这意味着，为了满足所有动物的需求，我们需要选择饲料 2 次，并且安排 1 头动物。
结果展示
由于这是一个线性规划问题，我们可以看到每次选择饲料都会影响到动物的数量。通过调整饲料选择的次数和动物的数量，可以找到一种最优的方案，使得总成本最低，同时满足所有的营养需求。
