Python低溫半导体电子束量子波算法计算

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🎯任意维度求解器，绘制三维投影结果 | 🎯解二维静电场、静磁场 | 🎯狄利克雷、诺依曼条件几何矩阵算子 | 🎯算法模拟低溫半导体材料 | 🎯计算曲面达西流 | 🎯电子结构计算和原子模拟 | 🎯算法模拟量子波函数和电子束

📜泊松方程 | 本文 - 用例

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🍇Python最低阶有限差分泊松方程

我们想要解泊松方程：
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}=0$$
在 $[0,1]\times [0,1]$ 方域中，具有边界条件
$$u(x,0)=x,u(x,1)=x-1,u(0,y)=-y,u(1,y)=1-y.$$
我们将使用最低阶有限差分表示：
∂ 2 u ∂ x 2 ( x i , y j ) ≃ 1 Δ x ( ∂ u ∂ x ( x i + 1 , y j ) − ∂ u ∂ x ( x i − 1 , y j ) ) ≃ 1 Δ x ( 1 Δ x ( u ( x i + 1 , y j ) − u ( x i , y j ) ) − 1 Δ x ( u ( x i , y j ) − u ( x i − 1 , y j ) ) )

∂x2∂2u​(xi​,yj​)≃Δx1​(∂x∂u​(xi+1​,yj​)−∂x∂u​(xi−1​,yj​))≃Δx1​(Δx1​(u(xi+1​,yj​)−u(xi​,yj​))−Δx1​(u(xi​,yj​)−u(xi−1​,yj​)))​

📜有限差分用例：Python微磁学磁倾斜和西塔规则算法

最终简化为，
$$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\simeq \left(\frac{1}{{\Delta }^2}\left(u_{i+1,j}+u_{i-1,j}+u_{i,j+1}+u_{i,j-1}-4u_{i,j}\right)\right)$$

最直接的方法是直接求解线性系统：

import numpy as np
import matplotlib as ml
import matplotlib.pyplot as pp

def boundary(grid):
    x = np.linspace(0,1,len(grid))
    
    grid[0,:]  = np.interp(x,[0,1],[0,1])
    grid[:,-1] = np.interp(x,[0,1],[1,0])
    grid[-1,:] = np.interp(x,[0,1],[-1,0])
    grid[:,0]  = np.interp(x,[0,1],[0,-1])

def poisson_direct(gridsize,set_boundary):
    A = np.zeros(shape=(gridsize,gridsize,gridsize,gridsize),dtype='d')
    b = np.zeros(shape=(gridsize,gridsize),dtype='d')
    
    dx = 1.0 / (gridsize - 1)
    
   
    for i in range(1,gridsize-1):
        for j in range(1,gridsize-1):
            A[i,j,i-1,j] = A[i,j,i+1,j] = A[i,j,i,j-1] = A[i,j,i,j+1] = 1/dx**2
            A[i,j,i,j] = -4/dx**2
    
   
    for i in range(0,gridsize):
        A[0,i,0,i] = A[-1,i,-1,i] = A[i,0,i,0] = A[i,-1,i,-1] = 1
    
    
    set_boundary(b)
    
    return np.linalg.tensorsolve(A,b)

sol = poisson_direct(25,boundary)

为了展示解，我们需要将矩阵的通常解释（行、列、从上到左）与在笛卡尔平面上绘图的想法联系起来。

pp.imshow(sol.T,cmap=ml.cm.Blues,interpolation='none',origin='lower')

将其变成我们将再次使用的函数。

def showsol(sol):
    pp.imshow(sol.T,cmap=ml.cm.Blues,interpolation='none',origin='lower')

showsol(poisson_direct(51,boundary))

让我们尝试一种迭代方法：我们将泊松方程转化为扩散方程来求解
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$$
并通过正向时间中心空间差分求解收敛
$$u_{i,j}^{n+1}=u_{i,j}^n+\frac{\Delta t}{{\Delta }^2}\left(u_{i+1,j}^n+u_{i-1,j}^n+u_{i,j+1}^n+u_{i,j-1}^n-4u_{i,j}^n\right)$$
对于最大稳定时间步 $\Delta t={\Delta }^2/4$ ，导出雅可比方法
$$u_{i,j}^{n+1}=\frac{1}{4}\left(u_{i+1,j}^n+u_{i-1,j}^n+u_{i,j+1}^n+u_{i,j-1}^n\right)$$

这相当于用最近邻的平均值替换每个网格值。这与调和函数理论是一致的。

def jacobi(grid):
    newgrid = np.zeros(shape=grid.shape,dtype=grid.dtype)

    
    newgrid[1:-1,1:-1] = 0.25 * (grid[1:-1,:-2] + grid[1:-1,2:] +
                                 grid[:-2,1:-1] + grid[2:,1:-1])

   
    newgrid[0,:]  = grid[0,:]
    newgrid[-1,:] = grid[-1,:]
    newgrid[:,0]  = grid[:,0]
    newgrid[:,-1] = grid[:,-1]
    
    return newgrid

我们从随机配置开始，应用边界条件，然后迭代。我们间歇性地绘制解，结果显示它收敛了。

👉参阅：计算思维 | 亚图跨际