巴特沃斯滤波器的设计

 一、基本概念

通带：p；阻带：s；Ω是模拟频率：Ωp是通带频率，Ωs是阻带频率，Ωc是截止频率

Hz频率与rad/s频率的转换

 模拟滤波器和数字滤波器的关系：

参考来源：数字信号处理教程6（2数字滤波器及原理）_哔哩哔哩_bilibili 

二、代码相关：

`butter`和`buttord`都是MATLAB中用于设计巴特沃斯滤波器的函数，但它们的功能不同。

`buttord`函数用于确定巴特沃斯滤波器的最小阶数和截止频率。它的语法为：

``` [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs) ```

其中，`Wp`和`Ws`分别是通带和阻带的截止频率，`Rp`和`Rs`分别是通带和阻带的波纹系数（单位为分贝）。该函数返回的`n`是滤波器的最小阶数，`Wn`是归一化的截止频率。

`butter`函数用于设计巴特沃斯滤波器。它的语法为：

``` [b,a] = butter(n,Wn) ```

其中，`n`是滤波器的阶数，`Wn`是截止频率。该函数返回的`b`和`a`分别是滤波器的分子和分母系数。

因此，使用`butter`和`buttord`函数设计巴特沃斯滤波器的步骤如下： 1. 使用`buttord`函数确定滤波器的最小阶数和截止频率。 2. 使用`butter`函数设计滤波器，将`buttord`函数返回的阶数和截止频率作为输入参数。 请注意，在使用这两个函数时，需要根据具体的设计要求选择合适的参数，并注意参数的单位和范围。

滤波操作时：

`filtfilt`和`filt`都是数字信号处理中常用的滤波函数，但它们有一些区别：

- **滤波方式**：`filt`是一种传统的滤波方式，它通过对输入信号进行线性滤波来实现。而`filtfilt`则采用了零相位滤波的方法，通过对信号进行正反两个方向的滤波，然后将结果反转，从而消除了滤波过程中可能产生的相位延迟。

- **相位特性**：由于`filtfilt`采用了零相位滤波，因此它可以保持信号的相位信息不变，滤波后的信号在时域上没有延迟。而`filt`滤波可能会导致信号的相位发生变化，并且在滤波后的信号中引入一定的延迟。

- **适用场景**：`filt`适用于对相位不敏感的应用，例如一些音频处理、图像处理等。而`filtfilt`适用于对相位敏感的应用，例如通信系统、控制系统等，需要保持信号的相位信息。 - **边界处理**：`filtfilt`在处理信号的边界时，会采用特殊的方法来减少边界效应。它会根据滤波器的长度和信号的长度，自动选择合适的边界处理方式，以确保滤波结果的准确性。而`filt`在处理边界时可能会出现一些不连续或异常的情况。

总的来说，`filtfilt`在保持信号相位和减少延迟方面具有优势，适用于对相位敏感的应用。而`filt`则更简单直接，适用于一些对相位要求不高的场景。在实际应用中，应根据具体需求选择合适的滤波函数。

三、处理信号前的工作：

信号的频谱图是用来展示信号在频率域中的分布特性，以下是几种常见的频谱图类型：

1. **幅度谱**：展示信号各个频率成分的幅度大小，通常以频率为横坐标，幅度为纵坐标。

2. **相位谱**：展示信号各个频率成分的相位信息，横坐标为频率，纵坐标为相位（通常以弧度或度表示）。

3. **功率谱**：展示信号功率随频率的分布，横坐标为频率，纵坐标为功率。

4. **频率响应**：对于滤波器或系统，频率响应图展示系统对不同频率信号的增益或衰减，以及相位变化。

5. **Bode图**：一种特殊的频率响应图，分为Bode幅度图和Bode相位图，幅度图以对数尺度展示频率，相位图展示不同频率下的相位变化。

6. **傅里叶变换（FT）图**：通过傅里叶变换得到的频谱图，展示了信号在频域的复数表示，通常包含幅度和相位信息。

7. **短时傅里叶变换（STFT）图**：展示信号在不同时间片段的频率分布，通常以时间-频率为坐标系。

8. **小波变换图**：使用小波变换得到的频谱图，可以展示信号在不同尺度（频率）和位置（时间）上的能量分布。

9. **Wigner-Ville分布图**：一种时频分析方法，可以展示信号的局部时频特性。

10. **Chirp图**：特别用于分析频率随时间变化的信号，如调频（FM）信号。

11. **极坐标图**：将信号的频率成分以极坐标形式展示，横坐标为频率，纵坐标为幅度。

12. **三维频谱图**：在三维空间中展示信号的幅度、相位和频率，通常用于更直观地展示信号的频谱特性。

每种类型的频谱图都有其特定的用途和优势，选择哪种图取决于分析的目的和信号的特性。在实际应用中，可能需要结合多种图来全面理解信号的频域特性。

四、频段分析

获取音频信号的频段通常涉及对信号进行频谱分析，以确定其频率成分的分布。以下是一些常用的步骤和方法来获取音频信号的频段：

1. **读取音频文件**：使用适当的函数读取音频数据和采样率。在 MATLAB 中，可以使用 `audioread` 函数。
   [audio_data, sample_rate] = audioread('audio_file.wav');

2. **计算频谱**：通过傅里叶变换（FFT）计算音频信号的频谱。FFT 会给出信号的频率成分及其幅度。
   N = length(audio_data);
   X = fft(audio_data);
   frequency = (0:N-1) * sample_rate / N; % 计算频率轴
   amplitude_spectrum = abs(X) / N; % 归一化幅度

3. **确定频段**：根据应用需求，将频率轴划分为不同的频段。例如，对于人类语音，可以划分为低频（100-300 Hz）、中频（300-3000 Hz）和高频（3000 Hz 以上）。

4. **使用窗函数**：在执行 FFT 之前，可以使用窗函数（如汉宁窗或汉明窗）来减少频谱泄漏。
   window = hamming(length(audio_data));
   audio_data_windowed = audio_data .* window;
   X_windowed = fft(audio_data_windowed);

5. **滤波器设计**：设计带通滤波器或带阻滤波器来提取特定频段的信号。在 MATLAB 中，可以使用 `fir1` 或 `butter` 函数设计滤波器。
   % 设计一个带通滤波器，例如 100 Hz 到 300 Hz
   low_freq = 100;
   high_freq = 300;
   filter_order = 8;
   cutoff_freqs = [low_freq high_freq] / (sample_rate / 2);
   bpf_coeffs = butter(filter_order, cutoff_freqs, 'bandpass');
   filtered_signal = filtfilt(bpf_coeffs, 1, audio_data);

6. **频段能量计算**：计算每个频段的能量，可以通过对频段内的幅度平方求和来实现。
   for i = 1:length(frequency_range)
       band_pass_indices = find(frequency >= frequency_range(i, 1) & frequency <= frequency_range(i, 2));
       band_pass_amplitudes = amplitude_spectrum(band_pass_indices);
       band_energy(i) = sum(band_pass_amplitudes .^ 2);
   end

7. **使用频谱分析工具**：MATLAB 提供了多种频谱分析工具，如 `spectrogram` 或 `pwelch`，这些工具可以提供信号的时频表示。
   [S, F, T] = spectrogram(audio_data, window, overlap_length, sample_rate);

8. **可视化**：绘制信号的频谱图，以直观地查看不同频段的能量分布。
   figure;
   plot(frequency, amplitude_spectrum);
   xlabel('Frequency (Hz)');
   ylabel('Amplitude');
   title('Frequency Spectrum of Audio Signal');