圆锥曲线的分类

有一个圆锥$C$，以及一个不过圆锥顶点的平面$Q$。用解析几何证明：当平面平行于圆锥的轴时，交线是双曲线；当平面平行于圆锥的母线时，交线是抛物线；其它情况下，交线为椭圆（包括圆）。

解：在空间中建立右手直角坐标系$O-xyz$. 取直线$\gamma :\frac{x}{0}=\frac{y}{\alpha }=\frac{z}{1}$作为母线，直线$\ell :\frac{x}{0}=\frac{y}{m}=\frac{z}{1}$作为轴。轴的方向向量是$(0,m,1)$

任取圆锥上的一个点$P(x,y,z)$, 假设它是由母线上一个点$P^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$旋转而来。那么$\overrightarrow{P^{\prime }P}\perp (0,m,1)$. 而点$P,P^{\prime }$到轴上任意一点的距离相等。特别，原点在轴上，所以$|\overrightarrow{PO}|=|\overrightarrow{P^{\prime }O}|$. 由此得到方程组 { m ( y − α z ′ ) + ( z − z ′ ) = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = α 2 z ′ 2 + z ′ 2 .

{m(y−αz′)+(z−z′)x2+y2+z2​=0,=α2z′2+z′2.​ 消去$z^{\prime }$，得到
$$x^2+y^2+z^2=\frac{{\alpha }^2+1}{(m\alpha +1{)}^2}(my+z{)}^2.$$

再把$C$的顶点平移到$(0,b,0)$, 其中$b\ne 0$为常数。则$C$的方程变为
$$x^2+(y-b{)}^2+z^2=\frac{{\alpha }^2+1}{(m\alpha +1{)}^2}(my-mb+z{)}^2.$$

取$Q$为$xz$-平面（平面方程为$y=0$). $Q$与$C$相交得到曲线 K : { x 2 + b 2 + z 2 = α 2 + 1 ( m α + 1 ) 2 ( z − m b ) 2 , y = 0. K:

K:{x2+b2+z2y​=(mα+1)2α2+1​(z−mb)2,=0.​

如果$Q$平行于轴直线$\ell$, 则$m=0$, 此时$K$是$xz$-平面上的双曲线$x^2+b^2={\alpha }^2{z}^2$. 注意，如果$b=0$，即$Q$包含$C$的轴，那么交线是$x=\pm \alpha z$, 是两条相交直线。它们恰好是双曲线$x^2+b^2={\alpha }^2{z}^2$的两条渐近线。

如果$Q$平行于母线$\gamma$, 则$\alpha =0$, 此时$K$是$xz$-平面上的抛物线$x^2+2mbz=(m^2-1)b^2$. 特别，当$m=\pm 1$时，抛物线过原点. (注意此时圆锥的顶点不在原点）

其它情况下，$Q$与$\gamma ,\ell$都不平行，即$\alpha m\ne 0$. 此时$K$为$xz$-平面上的椭圆。特别，当平面$Q$与轴垂直时，交线是圆。但由于此处取定$Q$为平面$y=0$，不可能与轴$\ell$垂直，即${\alpha }^2+1\ne 0$.