【高阶数据结构(八)】跳表详解

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1. 前言

跳表也是一种查找结构,和红黑树,哈希的价值是一样的,那么跳表的优势是什么呢?

本章重点:

本篇文章会着重讲解跳表的基本概念和特性, 讲解实现跳表的逻辑,以及手撕一个跳表. 最后会将跳表和红黑树/哈希进行对比, 分析优势和缺点

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2. 跳表的概念

跳表是基于有序链表的基础上发展而来的

有序链表的查找效率为O(N). 优化策略:

1. 假如每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如图b。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半

2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图c，这样搜索效率就进一步提高了。

3. 跳表正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。这样设计确实可以大大提高效率,但问题是,一旦此结构进行插入或删除, 整个跳表的规则就会被打乱. 插入/删除一个元素后, 后面节点的高度可能就不符合跳表的规则了.

跳表的发明者为了避免上诉情况,设计了这样的一种结构:

4. skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了

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3. 跳表的特性分析

拿下图举例:

查找19分析:

从头节点的最上面的节点开始, next=6,19大于6.直接向右跳到6. next=空,向下走,next=25.25大于19.再向下走. next=9.19大于9,向右走到9. next=17. 19大于17, 向右跳到17. next=25. 25大于19.向下走. next=19.找到19. 总结: 比它大, 向右走. 比它小, 向下走

插入/删除分析:

插入和删除操作的关键都是, 找到此位置的每一层节点的前一个和后一个节点. 插入和删除和其他节点无关, 只需要修改每一层的next指针指向即可. 比如现在要在节点7和9之间插入节点8. 节点8假设是三层. 那么插入只需要考虑节点8的第一层和第二层的前一个节点是6,而第三层的前一个节点是7. 第一层的后一个节点是25.第二层的后一个节点是9.第三次的后一个节点也是9. 依次改变指针知晓即可.

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4. 跳表的效率分析

上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时
的效率呢？这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图：

p代表概率,maxlevel代表最高层数

根据前面randomLevel()的伪码，我们很容易看出，产生越高的节点层数，概率越低。定量的分析如下：

• 节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布。
• 节点层数恰好等于1的概率为1-p。
• 节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)。
• 节点层数大于等于3的概率为p^ 2，而节点层数恰好等于3的概率为p^2*(1-p)。
• 节点层数大于等于4的概率为p^ 3，而节点层数恰好等于4的概率为p^3*(1-p)。

综上所述,跳表的平均时间复杂度为: O(logN)

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5. 跳表模拟实现

首先是跳表的节点构造:

struct SkipListNode {
    int _val;
    vector<SkipListNode*> _nextv;
    SkipListNode(int val, int height) :_val(val), _nextv(height, nullptr)
    {}
};

链表的多层结构可以抽象为vector, 而每一层的高度在初始化此节点时再使用随机算法来计算. 这里我们设置p为0.5,maxlevel为32. 写死它,当然后续你也可以做拓展

跳表的增删查改:

class Skiplist {
    typedef SkipListNode node;
public:
    Skiplist() {
        //头节点层数先给1层
        _head = new node(-1, 1);
        srand(time(0));
    }

    bool search(int target) {
        node* cur = _head;
        int level = _head->_nextv.size() - 1;
        while (level >= 0)
        {
            //和cur->next[level]比较,比它小就向下走,比它大向右走
            if (cur->_nextv[level] && cur->_nextv[level]->_val < target)
                cur = cur->_nextv[level];
            //下一个节点是空,即是尾,也要向下走
            else if (!cur->_nextv[level] || cur->_nextv[level]->_val > target)
                level--;
            else return true;
        }
        return false;
    }

    vector<node*> FindPrevNode(int num)
    {
        node* cur = _head;
        int level = _head->_nextv.size() - 1;
        vector<node*> prev(level + 1, _head);//用于保存每一层的前一个
        while (level >= 0)
        {
            //一旦要向下走了,就可以更新了,向右走不需要动
            if (cur->_nextv[level] && cur->_nextv[level]->_val < num)
                cur = cur->_nextv[level];
            else if (cur->_nextv[level] == nullptr || cur->_nextv[level]->_val >= num)
            {
                prev[level] = cur;
                --level;
            }
        }
        return prev;
    }

    void add(int num) {
        vector<node*> prev = FindPrevNode(num);
        int n = RandomLevel();
        node* newnode = new node(num, n);
        if (_head->_nextv.size() < n)
        {
            _head->_nextv.resize(n, nullptr);
            prev.resize(n, _head);
        }
        //链接前后节点即可
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            //新节点的下一个是prev的下一个
            newnode->_nextv[i] = prev[i]->_nextv[i];
            prev[i]->_nextv[i] = newnode;
        }
    }

    bool erase(int num) {
        //要删除你,先找到此节点的每层的前一个,和插入时相似
        vector<node*> prev = FindPrevNode(num);
        //代表这个值不存在, 最下层找不到它,它就一定不存在
        if (prev[0]->_nextv[0] == nullptr || prev[0]->_nextv[0]->_val != num)
            return false;
        node* del = prev[0]->_nextv[0];
        for (int i = 0; i < del->_nextv.size(); i++)
            prev[i]->_nextv[i] = del->_nextv[i];
        delete del;
        return true;
    }

    int RandomLevel()
    {
        int level = 1;
        while (rand() < RAND_MAX * _p && level < _max)
            level++;
        return level;
    }

    void Print()
    {
        int level = _head->_nextv.size();
        for (int i = level - 1; i >= 0; --i)
        {
            node* cur = _head;
            while (cur)
            {
                printf("%d->", cur->_val);
                cur = cur->_nextv[i];
            }
            printf("\n");
        }
    }
private:
    node* _head;
    size_t _max = 32;
    double _p = 0.5;
};

代码的解释都在注释中,不懂欢迎私信

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7. 跳表和传统查找结构的对比

1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多。skiplist的优势是：a、skiplist实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂。 b、skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33；

2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言a、哈希表平均时间复杂度是O(1)，比skiplist快。b、哈希表空间消耗略多一点。skiplist优势如下：a、遍历数据有序 b、skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。c、哈希表扩容有性能损耗。d、哈希表再极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。

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8. 总结

本篇文章是高阶数据结构的最后一篇文章. 高阶数据结构的学习之路就到此为止.