数据结构：二叉树（基本概念）

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前言

树是一种非线性的数据结构，它由一组称为节点的元素构成，这些节点通过边连接起来。树的一个节点称为根节点，根节点可以有零个或多个子节点，每个子节点又可以有自己的子节点，以此类推，形成了一棵树。

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一、树的概念及结构

1. 树的概念

树是一种 非线性 的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。 把它叫做树是因

为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的 。

有一个 特殊的结点，称为根结点 ，根结点没有前驱结点

除根结点外， 其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1 、 T2 、 …… 、 Tm ，其中每一个集合 Ti(1<= i

<= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继

因此， 树是递归定义 的。

数据结构树 - 搜索

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.树的相关概念

结点的度 ：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如上图： A 的为 6

叶结点或终端结点 ：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等结点为叶结点

非终端结点或分支结点 ：度不为 0 的结点； 如上图： D 、 E 、 F 、 G... 等结点为分支结点

双亲结点或父结点 ：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图： A 是 B 的父结点

孩子结点或子结点 ：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图： B 是 A 的孩子结点

兄弟结点 ：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图： B 、 C 是兄弟结点

树的度 ：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6

结点的层次 ：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度 ：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4

堂兄弟结点 ：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点

结点的祖先 ：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

子孙 ：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

森林 ：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林。

3. 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了， 既然保存值域，也要保存结点和结点之间

的关系 ，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法

等。我们这里就简单的了解其中最常用的 孩子兄弟表示法 。

typedef int DataType;
 
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

二、二叉树的概念及结构

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合 :

1. 或者为空

2. 由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于 2 的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

2.现实中的二叉树

3.特殊的二叉树

1. 满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K ，且结点总数是2的k次方-1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

4.二叉树的性质

二叉树是一种常见的树状数据结构，它具有以下一些性质：

1. 每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2. 左子树和右子树也是二叉树，且它们的根节点分别是原来节点的左子节点和右子节点。
3. 二叉树有一个特殊的节点，称为根节点，它是整个树的入口点。
4. 二叉树的叶子节点是没有子节点的节点。
5. 二叉树的深度等于从根节点到任意节点的路径上的节点数目，根节点深度为0。
6. 二叉树的高度等于从根节点到最远叶子节点的路径上的节点数目。
7. 二叉树可以为空，即没有任何节点。
8. 在二叉搜索树中，左子树中的所有节点的值小于根节点的值，右子树中的所有节点的值大于根节点的值。
9. 二叉树可以通过数组、链表等方式来表示和存储。

这些性质可以帮助我们理解和操作二叉树，比如可以用递归的方式来遍历二叉树的所有节点，可以根据节点的特性来进行查找、插入、删除等操作。

5.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用 数组来存储 ，一般使用数组 只适合表示完全二叉树 ，因为不是完全二叉树会有空 间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺 序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是

链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所

在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面课程

学到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

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总结

树（或称为树状结构）是一种重要的数据结构，它在计算机科学和数学中有广泛的应用。树的主要作用包括以下几个方面：

1. 组织和存储数据：树可以用来组织和存储具有层次关系的数据，例如组织结构、文件系统、网络路由表等。树的层次结构使得数据的管理和访问更加高效和方便。

2. 表示和处理树形关系：树可以用来表示实际世界中的树形关系，例如家谱、生物谱系、HTML文档结构等。这样可以方便地进行相关的操作和分析，例如查找、遍历、修改等。

3. 快速搜索：树的结构可以用来实现快速的搜索算法，例如二叉搜索树（Binary Search Tree）和平衡二叉搜索树（AVL Tree、红黑树等）。这些算法具有较快的搜索和插入/删除操作的时间复杂度。

4. 排序和统计：某些类型的树可以用来实现高效的排序和统计算法，例如二叉堆（Binary Heap）和平衡二叉搜索树。这些算法可以在插入和删除数据的同时维护数据的有序性，并支持快速的最值查找和区间统计等操作。

5. 图论算法的基础：树可以看作是一种特殊的图结构，它是没有环的连通图。许多图论算法的基础理论和实现都基于树的思想和数据结构，例如最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法等）和最短路径算法（Dijkstra算法、Bellman-Ford算法等）。

总之，树作为一种常见的数据结构，具有广泛的应用场景和重要的作用，它可以用来组织和存储数据、表示和处理树形关系、实现快速搜索、排序和统计，以及作为图论算法的基础等。