AI学习指南数学工具篇-PCA的数学原理

AI学习指南数学工具篇-PCA的数学原理

协方差矩阵与特征值分解：解释PCA背后的数学原理

在深入了解主成分分析(Principal Component Analysis, PCA)的数学原理之前，我们首先需要了解一些基础的数学工具，其中最重要的就是协方差矩阵与特征值分解。

协方差矩阵

协方差矩阵是用来衡量两个随机变量之间的线性关系强度和方向的。对于一个包含n个样本的数据集，假设有p个特征，那么协方差矩阵的维度为p×p。其定义如下：

假设我们有p个特征变量$x_1,x_2,...,x_p$，对应的协方差矩阵为$\Sigma$，则其元素为
$${\Sigma }_{ij}=\frac{1}{n-1}\sum _{k=1}^n(x_{ki}-\overline{x_i})(x_{kj}-\overline{x_j})$$
其中，$\overline{x_i}$表示第i个变量的均值。

特征值分解

对于一个对称矩阵$\Sigma$，存在一组标量${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_p$和对应的正交归一化向量$e_1,e_2,...,e_p$，使得
$$\Sigma e_i={\lambda }_i{e}_i$$
这里${\lambda }_i$为$\Sigma$的特征值，$e_i$为对应的特征向量。

以上就是协方差矩阵与特征值分解的基本概念和定义。在PCA中，我们会利用这些数学工具来进行主成分的计算与选择。

主成分的计算与选择：如何确定主成分的数量以及如何选择主成分

主成分的计算

PCA的核心思想是将原始的高维数据映射到低维空间，而且尽可能保留数据的信息。假设我们有p个特征，我们希望将数据映射到k维空间（其中k < p），那么我们需要计算出这k个主成分。计算主成分主要分为以下几个步骤：

1. 数据标准化：对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的均值为0，方差为1。
2. 计算协方差矩阵：利用标准化后的数据计算协方差矩阵。
3. 特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择主成分：根据特征值的大小，选择前k个特征值对应的特征向量作为主成分。

确定主成分的数量

确定主成分的数量是PCA中一个非常重要的问题。通常来说，我们会选择保留的方差（explained variance）超过一个阈值，比如95%。确定主成分的数量主要有两种方法：

1. 方差解释率：计算每个主成分对总方差的贡献率，然后选择贡献率较高的主成分。
2. 特征值：根据特征值的大小选择主成分，一般来说，特征值较大的主成分对数据的信息保留较多。

示例

接下来，我们通过一个具体的示例来演示PCA的数学原理。假设我们有一个二维的数据集 X = { x 1 , x 2 , . . . , x n } X=\{x_1, x_2, ..., x_n\} X={x1​,x2​,...,xn​}，其中每个样本有两个特征$x=(x_1,x_2)$。我们的目标是将这个二维数据集映射到一维空间。首先，我们需要计算协方差矩阵：

$$\Sigma =\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(x_i-\bar{x}{)}^T$$

然后进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。假设我们得到的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2$，对应的特征向量为$e_1,e_2$。我们选择特征值较大对应的特征向量$e_1$作为我们的主成分。最终，我们将数据集映射到一维空间，得到降维后的数据集 Y = { y 1 , y 2 , . . . , y n } Y=\{y_1, y_2, ..., y_n\} Y={y1​,y2​,...,yn​}。

以上就是关于PCA的数学原理的一个简单示例。

总结

在本文中，我们详细介绍了PCA背后的数学原理，包括协方差矩阵与特征值分解以及主成分的计算与选择。通过学习这些数学工具，我们可以更好地理解PCA的原理和应用，为后续的深入学习和研究打下坚实的数学基础。希望本文能对正在学习AI的同学们有所帮助。